스튜던트 t-분포 백분위수(역 t / 임계값) 계산기

계산 입력

결과

백분위수 t

2.228139

F(t) = 아래쪽 꼬리 확률을 만족하는 분위수

사용된 아래쪽 꼬리 확률	0.975
해석	F(t) = P(T ≤ t) = 0.975

이 계산기의 기능

이 도구는 스튜던트 t-분포의 백분위수(분위수, 임계값, 또는 역 누적분포함수라고도 부릅니다)를 계산합니다. 누적 확률 P와 자유도 nu를 입력하면, t 밀도함수에서 t까지의 넓이가 입력한 확률과 같아지는 값 t를 반환합니다. 이는 t-분포 누적분포함수(CDF)의 역함수이며, 스프레드시트의 t.inv 함수에 해당합니다. t-분포는 어디서나 동일하게 적용되는 보편적인 순수 수학 개념입니다.

Bell-shaped t-distribution curve with a shaded left area p and a vertical line at the corresponding quantile t on the horizontal axis — The percentage point t is the value where the cumulative area under the t-distribution curve equals p.

사용 방법

누적 확률 P(0과 1 사이의 값)를 입력하고, P가 아래쪽 꼬리(t의 왼쪽 넓이)인지 위쪽 꼬리(t의 오른쪽 넓이)인지 선택한 뒤 자유도를 입력하세요. 계산기는 내부적으로 항상 아래쪽 꼬리 확률로 변환하여 계산합니다. 아래쪽 꼬리일 때는 P를 그대로 사용하고, 위쪽 꼬리일 때는 $1 - P$를 사용합니다. 그런 다음 t 값을 구합니다.

공식 설명

자유도 nu인 스튜던트 t-분포의 CDF는 정규화된 불완전 베타 함수 I를 사용해 표현됩니다. $t \ge 0$일 때 $$F(t) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right), \quad x=\frac{\nu}{\nu+t^{2}}$$ 입니다. $t < 0$일 때는 대칭성을 이용한 $$F(t) = \tfrac{1}{2}\,I_{x}\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right)$$ 식을 사용합니다. 불완전 베타 함수는 감마 함수에 대한 란초스(Lanczos) 근사와 표준 연분수 알고리즘으로 계산합니다. F는 단조 증가 함수이므로, 안정적인 이분법(bisection)을 통해 역함수 값을 구합니다.

Two overlaid symmetric bell curves: a flatter t-distribution with heavier tails compared to a taller narrower normal distribution — The t-distribution has heavier tails than the normal curve, narrowing toward it as degrees of freedom grow.

계산 예시

$P = 0.975$, 아래쪽 꼬리, 자유도 $\nu = 10$인 경우 계산기는 $t \approx 2.228139$를 반환합니다. 이는 t-분포표에서 흔히 볼 수 있는 양측 95%(단측 97.5%) 임계값입니다. 위쪽 2.5% 넓이는 아래쪽 97.5% 넓이와 같으므로, $P = 0.025$를 위쪽 꼬리로 입력해도 동일한 결과가 나옵니다.