이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 자유도 \(\nu > 0\)인 모든 경우에 대해 스튜던트 t-분포를 계산하고 그래프로 그려 줍니다. 세 가지 값 가운데 하나를 선택할 수 있습니다. 확률밀도 \(f(x,\nu)\), 하측 누적확률 \(P(x,\nu)\)(즉 CDF), 그리고 상측 누적확률 \(Q(x,\nu) = 1 - P\)입니다. 계산기는 사용자가 지정한 구간에서 (x, 값) 쌍으로 이루어진 표를 만든 뒤 이를 꺾은선 그래프로 표현합니다.
사용 방법
먼저 함수(밀도, 하측, 상측)를 고릅니다. 그다음 자유도 \(\nu\)를 입력하세요. 이어서 시작 x값, 각 점 사이의 증가폭(스텝), 그리고 반복 횟수(생성할 점의 개수)를 설정합니다. 각 점은 \(k = 0\)부터 반복 횟수\(-1\)까지에 대해 \(x_k = \text{시작 }x + k\cdot\text{스텝 }x\)로 계산됩니다. 기본값(시작 \(-5\), 스텝 \(0.1\), 점 101개)을 그대로 쓰면 x는 \(-5\)부터 \(+5\)까지 변합니다.
공식 풀어보기
확률밀도는 $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$입니다. 자유도 \(\nu\)가 클 때도 수치적으로 안정적으로 계산하기 위해, 감마 항은 로그-감마 함수를 통해 평가합니다. 누적확률은 \(z = \nu/(\nu+x^{2})\)를 사용한 정규화 불완전 베타 함수 \(I_z(\nu/2, 1/2)\)로 구합니다. \(x \ge 0\)일 때 \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\)이고, \(x < 0\)일 때 \(P = \tfrac{1}{2}I_z\)입니다. 대칭성에 의해 \(P(0,\nu) = 0.5\)가 됩니다.
계산 예시
\(\nu = 2\)일 때 \(x = 0\)에서의 밀도를 구해 보겠습니다. \((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\)이고 \(B(1/2, 1) = 2\)이므로, $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0.353553$$입니다. 같은 \(\nu = 2\)에서 \(x = 0\)의 하측 누적확률은 분포가 대칭이므로 \(P(0,2) = 0.5\), 따라서 \(Q(0,2) = 0.5\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
\(\nu\)가 커지면 어떻게 되나요? t-분포는 점점 표준정규분포 \(N(0,1)\)에 가까워집니다. 예를 들어 \(f(0,\nu)\)는 \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\)에 수렴합니다.
증가폭을 음수로 넣어도 되나요? 됩니다. 음수 스텝을 쓰면 x가 점점 작아지고, 스텝을 0으로 두면 같은 x가 반복됩니다.
왜 \(\nu\)는 양수여야 하나요? \(\sqrt{\nu}\)와 \(\Gamma(\nu/2)\) 항이 \(\nu > 0\)을 요구하기 때문입니다. 0 이하의 값에서는 이 분포가 정의되지 않습니다.
