यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी स्वतंत्रता कोटि ν > 0 के लिए स्टूडेंट t-वितरण की गणना करके उसका ग्राफ बनाता है। आप तीन में से कोई एक राशि चुन सकते हैं: प्रायिकता घनत्व f(x,ν), निम्न संचयी प्रायिकता P(x,ν) (यानी CDF), या उच्च संचयी प्रायिकता Q(x,ν) = 1 − P। कैलकुलेटर आपकी तय की गई रेंज पर (x, मान) के जोड़ों की एक तालिका बनाता है और उन्हें एक लाइन ग्राफ में दर्शाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले फलन चुनें (घनत्व, निम्न या उच्च)। फिर स्वतंत्रता कोटि \(\nu\) दर्ज करें। इसके बाद x का प्रारंभिक मान, क्रमागत बिंदुओं के बीच का अंतराल (स्टेप), और पुनरावृत्तियों की संख्या (कितने बिंदु बनाने हैं) सेट करें। बिंदु इस सूत्र से बनते हैं: $$x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}$$ जहाँ \(k = 0..\text{iterations}-1\)। डिफ़ॉल्ट मानों (प्रारंभ −5, स्टेप 0.1, 101 बिंदु) के साथ x की सीमा −5 से +5 तक रहती है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व का सूत्र है $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ बड़े \(\nu\) के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर रहने हेतु हम गामा गुणनखंडों का मूल्यांकन लॉग-गामा फलन के ज़रिए करते हैं। संचयी प्रायिकता में नियमित अपूर्ण बीटा फलन \(I_z(\nu/2, 1/2)\) का उपयोग होता है, जहाँ \(z = \nu/(\nu+x^{2})\): जब \(x \ge 0\) हो, तो \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\); और जब \(x < 0\) हो, तो \(P = \tfrac{1}{2}I_z\)। समरूपता के कारण \(P(0,\nu) = 0.5\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\nu = 2\) के लिए \(x = 0\) पर घनत्व: \((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\), और \(B(1/2, 1) = 2\), इसलिए $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0.353553$$ \(\nu = 2\) के लिए \(x = 0\) पर निम्न संचयी देखें तो वितरण समरूप है, इसलिए \(P(0,2) = 0.5\) और \(Q(0,2) = 0.5\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
जैसे-जैसे \(\nu\) बढ़ता है, क्या होता है? t-वितरण मानक सामान्य वितरण \(N(0,1)\) के करीब पहुँचता जाता है; उदाहरण के लिए \(f(0,\nu)\) का मान \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\) की ओर जाता है।
क्या अंतराल ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक स्टेप से x घटता जाता है; और शून्य स्टेप से वही x बार-बार दोहराया जाता है।
\(\nu\) को धनात्मक ही क्यों रखा जाता है? \(\sqrt{\nu}\) और \(\Gamma(\nu/2)\) जैसे गुणनखंडों के लिए \(\nu > 0\) होना ज़रूरी है; इस वितरण के लिए शून्य या ऋणात्मक मान परिभाषित नहीं हैं।
