यह कैलकुलेटर क्या करता है
सामान्य वितरण ग्राफ कैलकुलेटर, सामान्य (गॉसियन) वितरण के लिए (x, मान) जोड़ियों की एक तालिका तैयार करता है। आप तीन फलनों में से किसी एक को तालिकाबद्ध करने के लिए चुन सकते हैं: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P(x)\) (संचयी वितरण फलन यानी CDF), या उच्च संचयी प्रायिकता \(Q(x)\) (उत्तरजीविता फलन)। x मानों की श्रृंखला एक आरंभिक मान, एक स्टेप (वृद्धि) और उत्पन्न किए जाने वाले बिंदुओं की संख्या से तय होती है। माध्य \(\mu = 0\) और मानक विचलन \(\sigma = 1\) रखने पर आपको मानक सामान्य वितरण मिलता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले एक फलन चुनें। फिर माध्य \(\mu\) और मानक विचलन \(\sigma\) (जो 0 से बड़ा होना चाहिए) दर्ज करें। x का आरंभिक मान, क्रमागत x मानों के बीच की वृद्धि और पुनरावृत्तियों (बिंदुओं) की संख्या निर्धारित करें। कैलकुलेटर एक तालिका देता है जिसमें प्रत्येक पंक्ति i में \(x = \text{आरंभिकX} + i \cdot \text{स्टेप}\) होता है और चुना गया फलन उस x पर मूल्यांकित होता है। डिफ़ॉल्ट सेटिंग्स (\(\mu=0\), \(\sigma=1\), आरंभ = -5, स्टेप = 0.1, 101 बिंदु) x को -5 से +5 तक घुमाती हैं और f के लिए परिचित घंटी-आकार वक्र या P के लिए S-आकार वक्र बनाती हैं।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व इस प्रकार है:
$$f(\text{x}) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma}\right)^{2}}$$संचयी प्रायिकताएँ त्रुटि फलन (error function) का उपयोग करती हैं: \(z = (x-\mu)/(\sigma\sqrt{2})\) के साथ, निम्न संचयी
$$P(\text{x}) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$और उच्च संचयी
$$Q(\text{x}) = 1 - \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{x} - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$होता है। चूँकि Java/Groovy में कोई बिल्ट-इन erf नहीं है, इसलिए यह टूल Abramowitz & Stegun 7.1.26 बहुपद सन्निकटन का प्रयोग करता है, जो लगभग \(1.5\times10^{-7}\) तक सटीक है।
हल किया गया उदाहरण
मानक सामान्य (\(\mu=0\), \(\sigma=1\)) में x = 1 पर:
$$f(1) = 0.3989423 \cdot e^{-0.5} = 0.241971$$P के लिए, \(z = 1/\sqrt{2} = 0.70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\), अतः
$$P = \frac{1}{2}(1 + 0.68269) = 0.84134$$(प्रसिद्ध मान \(\Phi(1) \approx 0.8413\))। फिर \(Q = 1 - 0.84134 = 0.15866\), और \(P + Q = 1\)। ✓
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\sigma\) धनात्मक क्यों होना चाहिए? शून्य या ऋणात्मक मानक विचलन का कोई अर्थ नहीं होता और सूत्रों में यह शून्य से भाग देने की स्थिति पैदा कर देगा, इसलिए टूल इसे स्वीकार नहीं करता।
क्या स्टेप ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक स्टेप x को नीचे की ओर गिनता है; शून्य स्टेप एक जैसे x मानों का स्थिर कॉलम देता है।
P और Q कितने सटीक हैं? ये एक बहुपद erf सन्निकटन का उपयोग करते हैं जिसकी अधिकतम त्रुटि लगभग \(1.5\times10^{-7}\) है — ग्राफिंग और अधिकांश सांख्यिकीय कार्यों के लिए यह पर्याप्त से अधिक है।
