यह कैलकुलेटर क्या करता है
जब भी आपको दो प्रसरण (variance) की तुलना करनी होती है, तब F-वितरण काम आता है — जैसे ANOVA में, प्रतिगमन (regression) के समग्र सार्थकता परीक्षण में, और प्रसरणों की समानता के लिए F-परीक्षण में। यह टूल अंश की स्वतंत्रता कोटि \(\nu_1\) और हर की स्वतंत्रता कोटि \(\nu_2\) वाले F-वितरण का मूल्यांकन \(x\) मानों की पूरी श्रृंखला पर करता है, ताकि आप एक ही चरण में तालिका और ग्राफ दोनों तैयार कर सकें। तीन फलनों में से कोई एक चुनें: संभावना घनत्व \(f\), निम्न संचयी संभावना \(P\) (यानी CDF), या उच्च संचयी संभावना \(Q\) (उत्तरजीविता फलन, जो दाएँ-पुच्छ p-मानों के लिए उपयोगी है)।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले वह फलन चुनें जो आपको चाहिए। फिर दोनों स्वतंत्रता कोटि दर्ज करें (दोनों 0 से बड़ी होनी चाहिए)। इसके बाद श्रृंखला सेट करें: \(x\) का प्रारंभिक मान (\(x \ge 0\) होना चाहिए), बिंदुओं के बीच की वृद्धि, और पुनरावृत्तियों की संख्या। कैलकुलेटर \(i = 0\) से \(\text{loopCount}-1\) तक \(x_i = \text{initialX} + i \cdot \text{stepX}\) के अनुसार मान बनाता है और हर बिंदु पर चुना हुआ फलन दिखाता है। डिफ़ॉल्ट सेटिंग्स (\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 5\), प्रारंभ 0, चरण 0.1, 51 बिंदु) में \(x\) को 0 से 5 तक स्कैन किया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व में बीटा फलन \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) का उपयोग होता है। बड़ी स्वतंत्रता कोटियों के लिए संख्यात्मक रूप से स्थिर बने रहने हेतु हम log-gamma फलन के साथ लघुगणक में गणना करते हैं। संचयी संभावना का एक स्वच्छ बंद रूप मौजूद है: \(P(x)\) नियमित अपूर्ण बीटा \(I_z(\tfrac{\nu_1}{2}, \tfrac{\nu_2}{2})\) के बराबर होता है, जहाँ $$z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}.$$ ऊपरी पुच्छ बस \(Q(x) = 1 - P(x)\) है। हम अपूर्ण बीटा का मूल्यांकन मानक सतत-भिन्न (continued-fraction) विधि से करते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\nu_1 = 3\) और \(\nu_2 = 5\) के साथ \(x = 1\) पर: स्थिरांक $$C = \frac{3^{1.5} \cdot 5^{2.5}}{B(1.5,\, 2.5)} = \frac{5.196152 \cdot 55.901699}{0.196350} = 1479.36.$$ फिर $$f = \frac{1479.36 \cdot 1^{0.5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479.36}{4096} = 0.36117.$$ CDF के लिए, \(z = \tfrac{3}{8} = 0.375\) से \(P = I_{0.375}(1.5,\, 2.5) = 0.5351\) मिलता है, इसलिए \(Q = 0.4649\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(x = 0\) पर घनत्व अनंत क्यों हो जाता है? जब \(\nu_1 < 2\) हो, तो \(x = 0\) पर घनत्व असीमित होता है; \(\nu_1 = 2\) पर यह 1 के बराबर होता है, और \(\nu_1 > 2\) के लिए यह 0 होता है।
\(x\) की कौन-सी रेंज समझदारी भरी है? F चर ऋणेतर (non-negative) होता है, इसलिए \(x = 0\) से शुरू करें और दाएँ-पुच्छ में इतना आगे तक बढ़ाएँ (अक्सर \(x\) लगभग 5–10 तक) कि वितरण का अधिकांश हिस्सा शामिल हो जाए।
क्या माध्य हमेशा मौजूद रहता है? माध्य \(\frac{\nu_2}{\nu_2-2}\) केवल तभी मौजूद होता है जब \(\nu_2 > 2\) हो, और प्रसरण केवल तब जब \(\nu_2 > 4\) हो — हालाँकि यहाँ इन फलनों का मूल्यांकन करने के लिए इनमें से किसी की भी आवश्यकता नहीं है।
