Công cụ này làm được gì
Phân phối F xuất hiện mỗi khi bạn cần so sánh hai phương sai, chẳng hạn trong phân tích phương sai (ANOVA), kiểm định mức ý nghĩa tổng thể của mô hình hồi quy, hay kiểm định F về sự bằng nhau của các phương sai. Công cụ này tính toán phân phối F với bậc tự do tử số \(\nu_1\) và bậc tự do mẫu số \(\nu_2\) trên cả một dãy giá trị x, nhờ vậy bạn có thể lập bảng và vẽ đồ thị chỉ trong một bước. Hãy chọn một trong ba hàm: mật độ xác suất f, xác suất tích lũy dưới P (hàm phân phối tích lũy CDF), hoặc xác suất tích lũy trên Q (hàm sống sót, rất hữu ích khi tính giá trị p ở đuôi phải).
Cách sử dụng
Trước tiên, chọn hàm bạn muốn tính. Nhập hai bậc tự do (cả hai đều phải lớn hơn 0). Sau đó thiết lập dãy giá trị: giá trị x ban đầu (x phải >= 0), bước nhảy giữa các điểm, và số lần lặp. Công cụ sẽ sinh ra các giá trị \(x_i = x_{\text{ban đầu}} + i \cdot \text{bước nhảy}\) với i từ 0 đến số lần lặp trừ 1, rồi trả về giá trị hàm đã chọn tại mỗi điểm. Với thiết lập mặc định (\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 5\), bắt đầu từ 0, bước 0,1, 51 điểm), x sẽ chạy từ 0 đến 5.
Giải thích công thức
Hàm mật độ sử dụng hàm Beta \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\).
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(\nu_1 x)^{\nu_1}\,\nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x\,B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\tfrac{\nu_2}{2}\right)}$$Để giữ ổn định về mặt số học khi bậc tự do lớn, ta tính toán theo logarit với hàm log-gamma. Xác suất tích lũy có dạng đóng gọn gàng: \(P(x)\) bằng hàm beta không hoàn chỉnh đã chuẩn hóa \(I_z(\tfrac{\nu_1}{2}, \tfrac{\nu_2}{2})\), trong đó \(z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}\).
$$F(x) = I_{\,z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\,\tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}$$Đuôi trên đơn giản là \(Q(x) = 1 - P(x)\). Ta tính hàm beta không hoàn chỉnh bằng phương pháp phân số liên tục tiêu chuẩn.
Ví dụ minh họa
Với \(\nu_1 = 3\) và \(\nu_2 = 5\) tại \(x = 1\): hằng số $$C = \frac{3^{1{,}5} \cdot 5^{2{,}5}}{B(1{,}5;\, 2{,}5)} = \frac{5{,}196152 \cdot 55{,}901699}{0{,}196350} = 1479{,}36.$$Khi đó $$f = \frac{1479{,}36 \cdot 1^{0{,}5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479{,}36}{4096} = 0{,}36117.$$Đối với hàm CDF, \(z = \tfrac{3}{8} = 0{,}375\) cho ra \(P = I_{0{,}375}(1{,}5;\, 2{,}5) = 0{,}5351\), vậy \(Q = 0{,}4649\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao hàm mật độ tăng vọt tại x = 0? Khi \(\nu_1 < 2\), mật độ không bị chặn tại \(x = 0\); khi \(\nu_1 = 2\) thì nó bằng 1, còn khi \(\nu_1 > 2\) thì nó bằng 0.
Khoảng giá trị x nào là hợp lý? Biến F luôn không âm, nên hãy bắt đầu từ \(x = 0\) và kéo dài đủ xa về phía đuôi phải (thường x đến 5-10) để bao quát phần lớn phân phối.
Giá trị trung bình có luôn tồn tại không? Giá trị trung bình \(\frac{\nu_2}{\nu_2-2}\) chỉ tồn tại khi \(\nu_2 > 2\), và phương sai chỉ tồn tại khi \(\nu_2 > 4\), dù cả hai điều kiện này đều không bắt buộc để tính các hàm tại đây.
