ماذا تفعل هذه الحاسبة
يظهر توزيع F كلما أردت مقارنة تباينين، كما في تحليل التباين (ANOVA)، واختبارات المعنوية الكلية في الانحدار، واختبار F للتحقق من تساوي التباينات. تقوم هذه الأداة بتقييم توزيع F باستخدام درجتي الحرية للبسط \(\nu_1\) وللمقام \(\nu_2\) عبر سلسلة كاملة من قيم \(x\)، بحيث يمكنك بناء جدول ورسم بياني في خطوة واحدة. اختر إحدى الدوال الثلاث: كثافة الاحتمال \(f\)، أو الاحتمال التراكمي السفلي \(P\) (دالة التوزيع التراكمي CDF)، أو الاحتمال التراكمي العلوي \(Q\) (دالة البقاء، وهي مفيدة لحساب قيم p في الذيل الأيمن).
طريقة الاستخدام
اختر الدالة التي تريدها أولًا. ثم أدخل درجتي الحرية (يجب أن تكونا أكبر من 0). بعد ذلك حدّد السلسلة: القيمة الأولية لـ \(x\) (يجب أن تكون \(x\) أكبر من أو تساوي 0)، ومقدار الزيادة بين النقاط، وعدد التكرارات. تولّد الحاسبة القيم وفق المعادلة $$x_i = \text{القيمة الأولية} + i \times \text{مقدار الزيادة}$$ من \(i = 0\) حتى \(\text{loopCount}-1\)، وتعرض قيمة الدالة المختارة عند كل نقطة. تؤدي الإعدادات الافتراضية (\(\nu_1 = 3\)، \(\nu_2 = 5\)، البداية 0، الخطوة 0.1، 51 نقطة) إلى مسح قيم \(x\) من 0 إلى 5.
شرح المعادلة
تعتمد دالة الكثافة على دالة بيتا $$B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$ وللحفاظ على الاستقرار العددي مع درجات الحرية الكبيرة، نُجري الحسابات باللوغاريتمات مستعينين بدالة لوغاريتم غاما (log-gamma). أما الاحتمال التراكمي فله صيغة مغلقة أنيقة: تساوي \(P(x)\) دالة بيتا غير الكاملة المنظَّمة \(I_z\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}, \tfrac{\nu_2}{2}\right)\) حيث \(z = \dfrac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}\). والذيل العلوي بكل بساطة هو \(Q(x) = 1 - P(x)\). نحسب دالة بيتا غير الكاملة بالطريقة القياسية للكسر المستمر (continued fraction).
مثال محلول
عند \(\nu_1 = 3\) و\(\nu_2 = 5\) وقيمة \(x = 1\): يكون الثابت $$C = \frac{3^{1.5} \cdot 5^{2.5}}{B(1.5,\, 2.5)} = \frac{5.196152 \cdot 55.901699}{0.196350} = 1479.36.$$ ومنه $$f = \frac{1479.36 \cdot 1^{0.5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479.36}{4096} = 0.36117.$$ أما لدالة التوزيع التراكمي، فإن \(z = \tfrac{3}{8} = 0.375\) تعطي \(P = I_{0.375}(1.5, 2.5) = 0.5351\)، وبالتالي \(Q = 0.4649\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تتصاعد قيمة الكثافة بلا حدود عند \(x = 0\)؟ عندما تكون \(\nu_1 < 2\) تصبح الكثافة غير محدودة عند \(x = 0\)؛ وعند \(\nu_1 = 2\) تساوي 1، وعندما تكون \(\nu_1 > 2\) تساوي 0.
ما نطاق قيم \(x\) المنطقي؟ متغير F غير سالب، لذا ابدأ من \(x = 0\) وامتد إلى مسافة كافية في الذيل الأيمن (غالبًا حتى \(x = 5\) إلى 10) لتغطية الجزء الأكبر من التوزيع.
هل يوجد المتوسط دائمًا؟ المتوسط \(\dfrac{\nu_2}{\nu_2-2}\) موجود فقط عندما تكون \(\nu_2 > 2\)، والتباين فقط عندما تكون \(\nu_2 > 4\)، رغم أن أيًّا منهما ليس شرطًا لتقييم الدوال هنا.
