Qué hace esta calculadora
La distribución F aparece siempre que comparamos dos varianzas, como en el ANOVA, en las pruebas de significación global de una regresión o en la prueba F para la igualdad de varianzas. Esta herramienta evalúa la distribución F con los grados de libertad del numerador \(\nu_1\) y del denominador \(\nu_2\) sobre toda una serie de valores de \(x\), de modo que puedas generar una tabla y una gráfica en un solo paso. Elige una de las tres funciones disponibles: la densidad de probabilidad \(f\), la probabilidad acumulada inferior \(P\) (la función de distribución o CDF) o la probabilidad acumulada superior \(Q\) (la función de supervivencia, muy útil para calcular valores p de la cola derecha).
Cómo utilizarla
Selecciona la función que te interese. Introduce los dos grados de libertad (ambos deben ser mayores que 0). A continuación define la serie: el valor inicial de \(x\) (\(x\) debe ser \(\ge 0\)), el incremento entre puntos y el número de iteraciones. La calculadora genera \(x_i = x_{\text{Inicial}} + i \cdot \text{pasoX}\) para \(i\) de \(0\) hasta \(\text{loopCount}-1\) y muestra el valor de la función elegida en cada punto. Los valores por defecto (\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 5\), inicio 0, paso 0,1, 51 puntos) recorren \(x\) desde 0 hasta 5.
La fórmula explicada
La densidad emplea la función Beta \(B(a,b) = \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\).
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(\nu_1 x)^{\nu_1}\,\nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x\,B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\tfrac{\nu_2}{2}\right)}$$Para mantener la estabilidad numérica con grados de libertad elevados, trabajamos en logaritmos mediante la función log-gamma. La probabilidad acumulada tiene una forma cerrada muy limpia: \(P(x)\) es igual a la beta incompleta regularizada \(I_z\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}, \tfrac{\nu_2}{2}\right)\), donde \(z = \dfrac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}\).
$$F(x) = I_{\,z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\,\tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}$$La cola superior es, simplemente, \(Q(x) = 1 - P(x)\). Calculamos la beta incompleta con el método estándar de fracciones continuas.
Ejemplo resuelto
Con \(\nu_1 = 3\) y \(\nu_2 = 5\) en \(x = 1\): la constante $$C = \frac{3^{1{,}5} \cdot 5^{2{,}5}}{B(1{,}5;\, 2{,}5)} = \frac{5{,}196152 \cdot 55{,}901699}{0{,}196350} = 1479{,}36.$$ Entonces $$f = \frac{1479{,}36 \cdot 1^{0{,}5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479{,}36}{4096} = 0{,}36117.$$ Para la CDF, \(z = \tfrac{3}{8} = 0{,}375\) da \(P = I_{0{,}375}(1{,}5;\, 2{,}5) = 0{,}5351\), por lo que \(Q = 0{,}4649\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué se dispara la densidad en x = 0? Cuando \(\nu_1 < 2\), la densidad no está acotada en \(x = 0\); con \(\nu_1 = 2\) vale 1, y para \(\nu_1 > 2\) es igual a 0.
¿Qué rango de x tiene sentido usar? La variable F no puede ser negativa, así que conviene empezar en \(x = 0\) y extenderse lo suficiente hacia la cola derecha (a menudo hasta \(x = 5\text{-}10\)) para captar el grueso de la distribución.
¿Siempre existe la media? La media \(\dfrac{\nu_2}{\nu_2-2}\) solo existe cuando \(\nu_2 > 2\) y la varianza únicamente cuando \(\nu_2 > 4\), aunque ninguna de las dos es necesaria para evaluar las funciones de esta herramienta.
