¿Qué es la distribución binomial negativa?
La distribución binomial negativa modela el número de fracasos x que se producen antes del k-ésimo éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes, donde cada ensayo tiene una probabilidad de éxito p. Esta calculadora emplea la parametrización del "número de fracasos antes del k-ésimo éxito", de modo que la variable aleatoria toma los valores x = 0, 1, 2, ... Devuelve la función de masa de probabilidad f, la probabilidad acumulada inferior P o la probabilidad de supervivencia superior Q, y tabula la función elegida a lo largo de un rango de valores de x.
Cómo usarla
Elige qué función quieres evaluar: f (masa de probabilidad), P (acumulada inferior) o Q (acumulada superior). Introduce el número de éxitos requeridos k (un entero positivo), la probabilidad de éxito por ensayo p (entre 0 y 1), el valor inicial de x, el paso entre filas y cuántas filas deseas generar. La tabla muestra cada x con su probabilidad correspondiente; también se indican la media y la varianza del número de fracasos.
La fórmula explicada
La función de masa de probabilidad es $$f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x}\,p^{k}\,(1-p)^{x}$$ donde \(C\) es el coeficiente binomial. La distribución acumulada inferior es $$P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ La función acumulada superior (de supervivencia) es $$Q(x,k,p) = 1 - \sum_{t=0}^{x-1} \binom{t+k-1}{t}\,p^{k}\,(1-p)^{t}$$ que equivale a la suma de \(f(t)\) para todos los valores \(t \ge x\). El número medio de fracasos es \(\frac{k(1-p)}{p}\) y la varianza es \(\frac{k(1-p)}{p^{2}}\).
Ejemplo resuelto
Con \(k = 4\) y \(p = 0{,}4\), calculemos \(f(x=2)\): \(\binom{5}{2} = 10\), \(p^{4} = 0{,}0256\), \((0{,}6)^{2} = 0{,}36\), así que $$f = 10 \times 0{,}0256 \times 0{,}36 = 0{,}09216$$ La acumulada inferior $$P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0{,}0256 + 0{,}06144 + 0{,}09216 = 0{,}1792$$ La supervivencia $$Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0{,}0256 + 0{,}06144) = 0{,}91296$$
Preguntas frecuentes
¿x cuenta éxitos o fracasos? Aquí x cuenta los fracasos antes del k-ésimo éxito. El total de ensayos sería \(x + k\).
¿Qué ocurre si p = 1? No es posible ningún fracaso, por lo que \(f(0) = 1\) y \(f(x) = 0\) para \(x > 0\).
¿Qué ocurre si p = 0? La distribución es degenerada (se esperan infinitos fracasos) y \(f(x) = 0\) para todo x finito.
