Calculadora del Punto Percentil de la Distribución Binomial

Número de ensayos n	20
Probabilidad de éxito p	0,25
Probabilidad acumulada objetivo	0,3

¿Qué es la Calculadora del Punto Percentil de la Distribución Binomial?

Esta herramienta invierte la función de distribución acumulada (CDF) de una distribución binomial B(n, p). A partir de una probabilidad acumulada objetivo, devuelve el valor x —el punto percentil— en el que se alcanza dicha probabilidad. Como la binomial es discreta, el resultado es una interpolación continua entre los valores enteros que lo rodean, de modo que x normalmente no es un número entero.

Gráfico de barras de una distribución binomial con el área acumulada resaltada hasta un percentil — El percentil x es el menor valor donde la probabilidad acumulada alcanza el objetivo P.

Cómo usarla

Elige un modo acumulado: Acumulada inferior P interpreta tu probabilidad como $P(X \le x)$; Acumulada superior Q la interpreta como $P(X \ge x)$. Introduce la probabilidad acumulada objetivo (entre 0 y 1), el número de ensayos $n$ y la probabilidad de éxito $p$ de un solo ensayo. La calculadora te devuelve el punto percentil $x$.

La fórmula explicada

La función de masa de probabilidad es $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{x}\,(1-p)^{\,n-x}.$$ La distribución acumulada inferior es $$P(x) = \sum_{t=0}^{x} f(t).$$ La herramienta calcula $F(k)$ para cada entero $k$, localiza el escalón donde $F(k-1) < P \le F(k)$ y luego interpola: $$x = (k-1) + \frac{P - F(k-1)}{F(k) - F(k-1)}.$$ El modo superior emplea de forma análoga la cola complementaria $G(k) = P(X \ge k)$.

Curva de CDF escalonada que muestra la interpolación entre dos valores acumulados para hallar el percentil — Invertir la CDF: la probabilidad objetivo cae entre F(k-1) y F(k), y x se interpola dentro de ese paso.

Ejemplo resuelto

Con $n = 20$, $p = 0.25$ y acumulada inferior $P = 0.3$: la CDF da $F(3) = 0.225156$ y $F(4) = 0.414842$. Como $0.3$ cae dentro de este escalón, $$x = 3 + \frac{0.3 - 0.225156}{0.414842 - 0.225156} = 3 + 0.394672 = 3.3947.$$

Definiciones y Glosario

La distribución binomial $B(n,p)$ modela el número de éxitos $X$ en $n$ ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito $p$. Esta calculadora invierte su función de distribución acumulada (CDF) para encontrar el punto percentil $x$ que corresponde a una probabilidad acumulada elegida.

Ensayos $n$: El número fijo de ensayos de Bernoulli independientes. Debe ser un entero positivo. En el formulario este es el campo trials.
Probabilidad de éxito $p$: La probabilidad de un éxito en un único ensayo, con $0 \le p \le 1$. El mismo valor se aplica a cada ensayo. En el formulario este es successProbability.
Función de masa de probabilidad (PMF): La probabilidad de exactamente $k$ éxitos: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ para $k = 0,1,\dots,n$.
Función de distribución acumulada (CDF): El total acumulado de la PMF hasta e incluyendo $k$: $F(k)=\sum_{t=0}^{k}\binom{n}{t}p^{t}(1-p)^{n-t}=P(X\le k)$. Es una función escalonada no decreciente que salta en cada entero.
Acumulada inferior $P = P(X \le x)$: La probabilidad de que el número de éxitos sea como máximo $x$. Cuando selecciona el modo inferior (cumulativeMode = lower), la calculadora devuelve el menor $x$ con $F(x) \ge P$.
Acumulada superior $Q = P(X \ge x)$: La probabilidad de que el número de éxitos sea al menos $x$. Dado que el soporte es discreto, $P(X\ge x)=1-F(x-1)$. En modo superior la calculadora devuelve el menor $x$ tal que $P(X\ge x)\le Q$ (equivalentemente la cola más grande cuya masa no excede $Q$).
Punto percentil $x$: El número de éxitos en la probabilidad acumulada solicitada — el valor cuantil o CDF inversa. Por ejemplo, el percentil 90 es el menor $x$ con $F(x)\ge 0.90$.
Interpolación dentro de un paso: Dado que la CDF binomial es una función escalonada, una probabilidad objetivo exacta generalmente cae entre dos valores enteros $k-1$ y $k$. Una interpolación lineal estima un percentil continuo como $x \approx (k-1) + \dfrac{P - F(k-1)}{F(k)-F(k-1)}$, donde $F(k)-F(k-1)=P(X=k)$. El punto percentil entero en sí mismo es siempre $k$; la interpolación es solo un refinamiento fraccional para la presentación.

Preguntas frecuentes

¿Por qué x no es un número entero? La CDF binomial es una función escalonada. Para devolver un percentil con sentido, la herramienta interpola linealmente dentro del escalón que contiene tu probabilidad objetivo.

¿Qué ocurre cuando P = 1? Se cubre toda la distribución, así que $x$ es igual a $n$. Cuando $P = 0$, $x$ es igual a 0.

¿Y si p = 0 o p = 1? Toda la masa se concentra en $x = 0$ o en $x = n$ respectivamente, y el punto percentil refleja ese caso degenerado.