¿Qué es una fracción egipcia?
Una fracción egipcia expresa un número racional positivo como una suma de fracciones unitarias distintas, es decir, fracciones cuyo numerador es 1, como \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) o \(\frac{1}{7}\). Los antiguos egipcios escribían todas sus fracciones de esta manera (con la única excepción de un símbolo especial para \(\frac{2}{3}\)). Esta calculadora transforma de forma automática cualquier fracción propia que introduzcas en una suma de este tipo.
Cómo usar la calculadora
Introduce el numerador y el denominador de una fracción propia (el numerador debe ser menor que el denominador). La calculadora primero simplifica la fracción a sus términos mínimos, después aplica el algoritmo voraz y te muestra la descomposición completa junto con el número de fracciones unitarias que contiene.
La fórmula explicada
El método voraz, atribuido a Fibonacci y Sylvester, va extrayendo de forma repetida la mayor fracción unitaria posible. Para un resto \(\frac{a}{b}\), el siguiente denominador es \(d = \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil\). Al restar \(\frac{1}{d}\) se obtiene una nueva fracción \(\frac{a\cdot d - b}{b\cdot d}\), que se simplifica y se vuelve a procesar. Como el numerador disminuye estrictamente en cada paso, el proceso siempre termina.
$$\begin{gathered} \frac{\text{Numerador } a}{\text{Denominador } b} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \cdots + \frac{1}{d_k} \\[1.5em] \text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil \\ \frac{a}{b} &\to \frac{a\,d_i - b}{b\,d_i} \quad (\text{reducida, luego repetir}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\frac{5}{6}\). Aquí \(d = \left\lceil \frac{6}{5} \right\rceil = 2\), así que tomamos \(\frac{1}{2}\). El resto es $$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$ Esa ya es una fracción unitaria, por lo que la descomposición es \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\), con 2 fracciones unitarias. Puedes comprobarlo: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}. \;\checkmark$$
Preguntas frecuentes
¿Son únicas las descomposiciones en fracciones egipcias? No. Una fracción puede escribirse como suma de fracciones unitarias de muchas maneras; el algoritmo voraz ofrece solo una de las representaciones válidas.
¿Por qué las fracciones deben ser distintas? Por definición, las fracciones egipcias usan denominadores diferentes, y eso es precisamente lo que hace interesante el método voraz, en lugar de limitarse a repetir \(\frac{1}{b}\) una y otra vez.
¿Pueden los denominadores volverse muy grandes? Sí. El método voraz puede generar denominadores sorprendentemente grandes incluso a partir de fracciones sencillas, lo que constituye uno de sus inconvenientes más conocidos.
