什麼是埃及分數？
埃及分數是把一個正有理數寫成若干個相異單位分數相加的形式——所謂單位分數，就是分子為 1 的分數，例如 \(\frac{1}{2}\)、\(\frac{1}{3}\) 或 \(\frac{1}{7}\)。古埃及人除了 \(\frac{2}{3}\) 有專屬符號外，所有分數都用這種方式來表示。本計算器能自動把你輸入的任何真分數轉換成這樣的總和。
如何使用本計算器
輸入一個真分數的分子與分母（分子需小於分母）。計算器會先把分數約分為最簡形式，接著套用貪婪演算法，並顯示完整的展開結果以及所使用的單位分數個數。
公式說明
這套貪婪法一般歸功於斐波那契（Fibonacci）與西爾維斯特（Sylvester），其做法是不斷取出「能取的最大單位分數」。對於餘數 \(\frac{a}{b}\)，下一個分母為 \(d = \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil\)（向上取整）。減去 \(\frac{1}{d}\) 後得到新分數 \(\frac{a \cdot d - b}{b \cdot d}\)，再將它約分並重複處理。由於每一步的分子都嚴格遞減，這個過程必定會結束。
$$\begin{gathered} \frac{\text{Numerator } a}{\text{Denominator } b} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \cdots + \frac{1}{d_k} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \left\lceil \frac{b}{a} \right\rceil \\ \frac{a}{b} &\to \frac{a\,d_i - b}{b\,d_i} \quad (\text{reduced, then repeat}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
實例演算
以 \(\frac{5}{6}\) 為例。此時 \(d = \left\lceil \frac{6}{5} \right\rceil = 2\)，所以先取出 \(\frac{1}{2}\)。餘數為 \(\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)，而它本身已是單位分數，因此展開結果為 \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)，共用了 2 個單位分數。可驗算：$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$ ✓
常見問題
埃及分數的展開方式是唯一的嗎？ 不是。同一個分數可以有許多種拆成單位分數的寫法，貪婪演算法只是給出其中一種有效的表示法。
為什麼這些分數必須相異？ 依定義，埃及分數使用的分母都不相同。正因如此，貪婪法才顯得有趣，而不只是把 \(\frac{1}{b}\) 重複加好幾次而已。
分母會不會變得非常大？ 會。即使是看起來很簡單的分數，貪婪法也可能產生大得驚人的分母，這正是它廣為人知的缺點之一。
