什麼是韋伯分布？
韋伯分布（Weibull distribution）是最具彈性的連續機率分布之一，也是可靠度工程、壽命資料分析與存活分析的核心工具。它透過兩個參數來調整曲線形狀：形狀參數 \(m\)（也寫成 \(k\) 或 beta），以及尺度參數 \(\eta\)（也寫成 lambda 或 \(a\)，即特徵壽命）。藉由調整這兩個參數，它可以描述隨時間遞減、維持固定或逐漸上升的失效率。本計算器採用標準的雙參數尺度型式，並將位置參數固定為零，因此其定義域為 \(x \ge 0\)。
如何使用這個計算器
請輸入欲求值的 \(x\)（\(x \ge 0\)）、形狀參數 \(m\)（\(> 0\)）與尺度參數 \(\eta\)（\(> 0\)）。本工具會回傳三項結果：機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(X \le x)\)（即 CDF），以及上累積機率 \(P(X > x)\)（即存活函數或可靠度函數）。請注意，\(F(x) + R(x)\) 恆等於 1。
公式說明
令 \(z = x / \eta\)。機率密度為 $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot e^{-z^{m}}.$$ 累積分布函數為 $$F(x) = 1 - e^{-z^{m}},$$ 存活函數則為 $$R(x) = e^{-z^{m}}.$$ 形狀參數決定了風險（hazard）行為：當 \(m = 1\) 時退化為指數分布（失效率固定，平均值為 \(\eta\)）；\(m = 2\) 時即為瑞利分布（Rayleigh distribution）；而當 \(m\) 接近 3.6 時，曲線會近似於鐘形的常態分布。
計算範例
取 \(x = 1.5\)、\(m = 2\)、\(\eta = 1\)。則 \(z = 1.5\)，\(z^m = 2.25\)，因此 \(e^{-2.25} = 0.105399\)。上累積機率 \(R = 0.105399\)，下累積機率 $$F = 1 - 0.105399 = 0.894601.$$ 機率密度則為 $$f = \frac{2}{1} \cdot 1.5^{1} \cdot 0.105399 = 0.316198.$$
常見問題
為什麼不論形狀參數為何，F(eta) 都約等於 0.632？當 \(x = \eta\) 時，\(z = 1\)，故 \(z^m = 1\)，得 \(F = 1 - e^{-1} = 0.6321\)，與 \(m\) 無關。這正是 \(\eta\) 被稱為「特徵壽命」的原因。
當 x < 0 時會如何？雙參數韋伯分布的定義域為 \([0, \infty)\)，因此在此範圍外 \(f(x) = 0\)、\(F(x) = 0\)、\(R(x) = 1\)。
尺度參數需要單位嗎？所有輸入皆為純數值；\(x\) 與 \(\eta\) 應使用相同單位（例如小時），但計算本身並無量綱（dimensionless）。
