Weibull dağılımı nedir?
Weibull dağılımı, sürekli olasılık dağılımları arasında en esnek olanlardan biridir ve güvenilirlik mühendisliğinin, ömür verisi analizinin ve sağkalım modellemesinin temel taşlarından sayılır. İki parametreyi — şekil parametresi m (bazen k ya da beta olarak da yazılır) ve ölçek parametresi eta (lambda veya karakteristik ömür anlamında a) — ayarlayarak zamanla azalan, sabit kalan veya artan arıza oranlarını modelleyebilir. Bu hesaplayıcı, konum parametresi sıfıra sabitlenmiş standart 2 parametreli ölçek biçimini kullanır; bu nedenle tanım kümesi \(x \ge 0\)'dır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Dağılımı değerlendirmek istediğiniz x değerini (\(x \ge 0\)), şekil parametresi m'yi (\(> 0\)) ve ölçek parametresi eta'yı (\(> 0\)) girin. Araç size üç sonuç verir: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt birikimli olasılık \(P(X \le x)\) (BDF) ve üst birikimli olasılık \(P(X > x)\) (hayatta kalma veya güvenilirlik fonksiyonu). Unutmayın ki \(F(x) + R(x)\) her zaman 1'e eşittir.
Formüllerin açıklaması
\(z = x / \eta\) olsun. Yoğunluk $$f(x) = \frac{m}{\eta} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ ile verilir. Birikimli dağılım fonksiyonu $$F(x) = 1 - e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ ve hayatta kalma fonksiyonu $$R(x) = e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ şeklindedir. Şekil parametresi tehlike (hazard) davranışını belirler: \(m = 1\) üstel dağılıma indirgenir (sabit arıza oranı, ortalama \(\eta\)), \(m = 2\) Rayleigh dağılımını verir ve \(m\)'nin 3,6 civarındaki değerleri çan eğrisi biçimindeki normal dağılıma yaklaşır.
Çözümlü örnek
\(x = 1{,}5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\) alalım. O zaman \(z = 1{,}5\) ve \(z^m = 2{,}25\) olur, yani \(e^{-2{,}25} = 0{,}105399\). Üst birikimli olasılık \(R = 0{,}105399\), alt birikimli olasılık ise $$F = 1 - 0{,}105399 = 0{,}894601$$ olur. Yoğunluk ise $$f = \frac{2}{1} \cdot 1{,}5^{1} \cdot 0{,}105399 = 0{,}316198$$ dir.
Sıkça sorulan sorular
\(F(\eta)\) neden her şekil değeri için yaklaşık 0,632'dir? \(x = \eta\) olduğunda \(z = 1\), dolayısıyla \(z^m = 1\) ve \(F = 1 - e^{-1} = 0{,}6321\) olur; bu sonuç \(m\)'den bağımsızdır. İşte bu yüzden \(\eta\)'ya karakteristik ömür denir.
\(x < 0\) olduğunda ne olur? 2 parametreli Weibull dağılımının tanım kümesi \([0, \infty)\) olduğundan, bu bölgede \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) ve \(R(x) = 1\)'dir.
Ölçeğin bir birime ihtiyacı var mı? Girdiler salt sayılardır; \(x\) ve \(\eta\) aynı birimi (örneğin saat) paylaşmalıdır, ancak hesaplamanın kendisi birimsizdir.
