Poisson Dağılımı Hesaplama Aracı nedir?
Poisson dağılımı, sabit bir zaman ya da uzay aralığında meydana gelen olay sayısını modellemek için kullanılır. Bunun için olayların bilinen ve sabit bir ortalama hızla (ortalama değer) gerçekleştiği ve birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. Bu hesaplama aracı, bir x değerleri dizisi boyunca üç büyüklüğü tablo hâlinde verir: olasılık kütlesi \(f(x;\lambda)\), alt birikimli olasılık \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\) ve üst birikimli olasılık \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\).
Nasıl kullanılır?
Önce vurgulamak istediğiniz seriyi seçin (olasılık kütlesi f, alt birikimli P veya üst birikimli Q). Ardından ortalama değer \(\lambda\) (en az 0 olmalı), x'in başlangıç değeri, artış miktarı (adım) ve tekrar sayısını (satır adedi) girin. Araç \(x = \text{başlangıçX},\ \text{başlangıçX}+\text{adım},\ \text{başlangıçX}+2\cdot\text{adım},\ \ldots\) dizisini oluşturur ve her değer için f, P ve Q sütunlarını gösterir; seçtiğiniz sütunu da öne çıkarır.
Formül açıklaması
Olasılık kütle fonksiyonu şöyledir:
$$f(x;\lambda) = \frac{\lambda^{\,x}\,e^{-\lambda}}{x!}$$Alt birikimli dağılım, x'e kadar olan tüm kütleleri toplar:
$$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} \frac{\lambda^{\,t}\,e^{-\lambda}}{t!}$$Üst birikimli olasılık ise x noktasındaki terimi de içerir:
$$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda)$$bu nedenle P ve Q, \(f(x)\) üzerinde örtüşür. Sayısal kararlılığı sağlamak için f, logaritmik faktöriyellerle hesaplanır:
$$f = \exp\!\left(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!)\right)$$
Çözümlü örnek
\(\lambda = 5\) ve \(x = 0\) için: \(e^{-5} = 0{,}006737947\) olur; dolayısıyla \(f(0) = 0{,}006737947\), \(P(0) = 0{,}006737947\) ve $$Q(0) = 1 - 0{,}006737947 + 0{,}006737947 = 1$$ olur. \(x = 5\) noktasında \(f(5) = 0{,}175467\), \(P(5) = 0{,}615961\) ve \(Q(5) = 0{,}559507\) olur — yani olasılık kütlesinin yaklaşık %61,6'sı \(X \le 5\) aralığında bulunur.
Sık sorulan sorular
P + Q neden 1'i aşıyor? Çünkü hem alt birikimli P \((X \le x)\) hem de üst birikimli Q \((X \ge x)\), \(f(x)\) noktasal kütlesini içerir; bu yüzden toplamları \(1 + f(x)\) olur.
\(\lambda = 0\) olduğunda ne olur? Tüm kütle \(x = 0\) noktasında toplanır: \(f(0) = 1\), \(x > 0\) için \(f(x) = 0\) ve her \(x \ge 0\) için \(P(x) = 1\) olur.
\(\lambda\) tam sayı olmayabilir mi? Evet — \(\lambda\) bir hızdır ve 0 ya da daha büyük herhangi bir değer alabilir; x değerleri ise negatif olmayan tam sayılardır.
