ポアソン分布計算機とは？
ポアソン分布は、一定の時間や空間の区間内で起こる事象の回数をモデル化する確率分布です。平均発生率（平均値）が一定でわかっており、各事象が互いに独立して起こると仮定できる場合に用います。本計算機は、連続したxの値について次の3つの量を一覧表にします。すなわち、確率質量 \(f(x;\lambda)\)、下側累積確率 \(P(x;\lambda) = P(X \le x)\)、上側累積確率 \(Q(x;\lambda) = P(X \ge x)\) です。
使い方
まず、強調表示する系列（確率質量 \(f\)、下側累積 \(P\)、上側累積 \(Q\)）を選びます。次に平均値 \(\lambda\)（0 以上）、xの初期値、増分（ステップ）、繰り返し回数（行数）を入力してください。計算機は $$x = \text{初期値},\ \text{初期値}+\text{ステップ},\ \text{初期値}+2\cdot\text{ステップ},\ \dots$$ を生成し、それぞれについて \(f\)、\(P\)、\(Q\) を表示し、選択した列を強調します。
計算式の解説
確率質量関数は $$f(x;\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{\,x}}{x!}$$ です。下側累積分布は \(x\) までのすべての確率質量を合計したもので、$$P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} f(t;\lambda)$$ となります。上側累積確率は \(x\) の点そのものの項を含むため、$$Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda)$$ となり、\(P\) と \(Q\) は \(f(x)\) の分だけ重なります。数値的な安定性を確保するため、本計算機では対数階乗を用いて \(f = \exp(-\lambda + x\cdot\ln\lambda - \ln(x!))\) として計算します。
計算例
\(\lambda = 5\)、\(x = 0\) の場合：\(e^{-5} = 0.006737947\) なので、\(f(0) = 0.006737947\)、\(P(0) = 0.006737947\)、$$Q(0) = 1 - 0.006737947 + 0.006737947 = 1$$ となります。\(x = 5\) のときは、\(f(5) = 0.175467\)、\(P(5) = 0.615961\)、\(Q(5) = 0.559507\) となり、確率質量のおよそ 61.6% が \(X \le 5\) に集中していることを意味します。
よくある質問
なぜ P + Q が 1 を超えるのですか？ 下側累積 \(P\)（\(X \le x\)）と上側累積 \(Q\)（\(X \ge x\)）の両方が点質量 \(f(x)\) を含むためです。両者の合計は \(1 + f(x)\) になります。
λ = 0 のときはどうなりますか？ すべての確率質量が \(x = 0\) に集中します。すなわち \(f(0) = 1\)、\(x > 0\) では \(f(x) = 0\)、そしてすべての \(x \ge 0\) で \(P(x) = 1\) となります。
λ は整数でなくてもよいですか？ はい。\(\lambda\) は発生率であり 0 以上の任意の値をとれます。一方、\(x\) の値は非負の整数です。
