F分布計算ツールとは？
このツールは、パーセント点xと2つの自由度パラメータ（分子の自由度v1・分母の自由度v2）を指定して、F分布（フィッシャー・スネデカー分布）の値を求めます。出力されるのは、確率密度f(x)、下側累積確率P(X ≤ x)、上側（裾側）確率P(X > x)の3つです。F分布は統計学全般で用いられる普遍的な分布で、国や地域による前提の違いはなく、どこで使っても同じ結果が得られます。
使い方
パーセント点x（0以上）、分子の自由度v1（0より大きい値）、分母の自由度v2（0より大きい値）を入力してください。自由度は整数でなくてもかまいません。計算結果として確率密度と2つの累積確率が表示され、これらは常に「下側＋上側＝1」の関係を満たします。
計算式の解説
確率密度は次の式で表されます。$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(v_1\,x)^{v_1}\,v_2^{\,v_2}}{(v_1\,x + v_2)^{v_1+v_2}}}}{x \cdot B\!\left(\dfrac{v_1}{2},\dfrac{v_2}{2}\right)}$$ここでBはベータ関数、\(d_1 = v_1\)、\(d_2 = v_2\)です。累積分布には正則化不完全ベータ関数を用い、$$P(X \le x) = I_{z}\!\left(\dfrac{v_1}{2},\,\dfrac{v_2}{2}\right),\qquad z = \dfrac{v_1\,x}{v_1\,x + v_2}$$となります。本ツールでは対数ガンマ関数をランチョス近似で、不完全ベータ関数を連分数（レンツ法）でそれぞれ計算しています。
計算例
\(x = 1\)、\(v_1 = 2\)、\(v_2 = 1\)の場合：\(B(1, 0.5) = 2\)なので、$$f(1) = \frac{2^1 \cdot 1^0 \cdot 3^{-1.5}}{2} = 3^{-1.5} \approx 0.19245$$となります。累積分布については、\(z = 2/3\)より、$$I_{2/3}(1, 0.5) = 1 - (1/3)^{0.5} \approx 0.42265$$となり、上側確率は\(P(X > 1) \approx 0.57735\)です。
よくある質問
自由度に小数を指定できますか？ はい、できます。F分布は任意の正の実数の自由度に対して定義されています。
x = 0のときはどうなりますか？ 下側確率は0、上側確率は1になります。確率密度は、\(v_1 < 2\)のとき＋無限大、\(v_1 = 2\)のとき1、\(v_1 > 2\)のとき0となります。
上側累積確率は何に使うのですか？ F検定のp値にあたります。すなわち、帰無仮説のもとでF統計量がx以上の値をとる確率を表します。
