ما هي حاسبة توزيع F؟
تتيح لك هذه الأداة حساب قيم توزيع F (المعروف بتوزيع فيشر-سنيديكور) عند نقطة معيّنة x وبدلالة معاملين من درجات الحرية: v1 للبسط وv2 للمقام. تُرجع الحاسبة الكثافة الاحتمالية f(x)، والاحتمال التراكمي الأدنى \(P(X \le x)\)، والاحتمال العلوي (احتمال الذيل) \(P(X > x)\). ويُعد توزيع F من التوزيعات الأساسية في علم الإحصاء، وهو ينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي افتراضات خاصة ببلد معيّن.
طريقة الاستخدام
أدخل النقطة x (يجب أن تكون صفرًا أو أكبر)، ودرجات حرية البسط v1 (أكبر من الصفر)، ودرجات حرية المقام v2 (أكبر من الصفر). ويمكن أن تكون كلتا قيمتي درجات الحرية غير صحيحتين (أي كسرية). ثم تُرجع الحاسبة الكثافة الاحتمالية والاحتمالين التراكميين، اللذين يحققان دائمًا العلاقة: الأدنى + الأعلى = 1.
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالصيغة
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(v_1\,x)^{v_1}\,v_2^{\,v_2}}{(v_1\,x + v_2)^{v_1+v_2}}}}{x \cdot B\!\left(\dfrac{v_1}{2},\dfrac{v_2}{2}\right)}$$حيث B هي دالة بيتا، و\(d_1 = v_1\)، و\(d_2 = v_2\). أما التوزيع التراكمي فيعتمد على دالة بيتا الناقصة المنظَّمة:
$$P(X \le x) = I_{z}\!\left(\dfrac{v_1}{2},\,\dfrac{v_2}{2}\right),\qquad z = \dfrac{v_1\,x}{v_1\,x + v_2}$$ونحسب لوغاريتم دالة غاما باستخدام تقريب لانكزوس، ودالة بيتا الناقصة باستخدام طريقة الكسر المتصل (طريقة لينتز).
مثال محلول
عند \(x = 1\) و\(v_1 = 2\) و\(v_2 = 1\): نجد أن \(B(1, 0.5) = 2\)، ومن ثَمّ \(f(1) = (2^1 \cdot 1^0 \cdot 3^{-1.5}) / 2 = 3^{-1.5} \approx 0.19245\). وبالنسبة للدالة التراكمية، يكون \(z = 2/3\)، و \(I_{2/3}(1, 0.5) = 1 - (1/3)^{0.5} \approx 0.42265\)، وعليه فإن \(P(X > 1) \approx 0.57735\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون درجات الحرية أعدادًا عشرية؟ نعم. فتوزيع F معرّف جيدًا لأي قيمة حقيقية موجبة من درجات الحرية.
ماذا يحدث عند \(x = 0\)؟ يكون الاحتمال الأدنى صفرًا والأعلى يساوي 1. أما الكثافة فتكون لا نهائية موجبة إذا كان \(v_1 < 2\)، وتساوي 1 إذا كان \(v_1 = 2\)، وتساوي صفرًا إذا كان \(v_1 > 2\).
فيمَ يُستخدم الاحتمال التراكمي العلوي؟ هو القيمة الاحتمالية (p-value) لاختبار F: أي احتمال الحصول على إحصائية F لا تقل في كبرها عن x في ظل فرضية العدم.
