ما هو توزيع F اللامركزي؟
يُعدّ توزيع F اللامركزي تعميماً لتوزيع F العادي (المركزي) من خلال إضافة معامل لامركزية يُرمز له بـ \(\lambda\). ينشأ هذا التوزيع كنسبة بين متغير كاي تربيع لامركزي (مقسوماً على درجات حريته \(\nu_1\)) ومتغير كاي تربيع مركزي مستقل عنه (مقسوماً على \(\nu_2\)). وهو حجر الأساس في تحليل القوة الإحصائية: فحين تكون فرضية العدم خاطئة، يتبع إحصاء اختبار F في تحليل التباين (ANOVA) أو في الانحدار توزيع F لامركزياً، حيث يقيس المعامل \(\lambda\) مدى ابتعاد التأثير الحقيقي عن قيمة العدم. وعندما يكون \(\lambda = 0\) يتقلص التوزيع ليعود إلى توزيع F المركزي المألوف.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولاً المقدار الذي تريد حسابه: دالة الكثافة الاحتمالية \(f\)، أو الاحتمال التراكمي الأدنى \(P\) (وهو دالة التوزيع التراكمي CDF، أي المساحة الواقعة يسار \(x\))، أو الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q = 1 - P\) (المساحة الواقعة يمين \(x\)). ثم أدخل درجات حرية البسط \(\nu_1\)، ودرجات حرية المقام \(\nu_2\)، ومعامل اللامركزية \(\lambda\). بعد ذلك حدّد سلسلة من قيم \(x\) عبر قيمة ابتدائية ومقدار زيادة (الخطوة) وعدد التكرارات؛ تقوم الأداة بحساب الدالة المختارة عند \(x = \text{initialX} + i \cdot \text{step}\) للقيم \(i = 0 \dots \text{count}-1\) وتعرض النتائج في جدول.
شرح المعادلة
الكثافة هي متوسط مُرجَّح بأوزان بواسون لكثافات F المركزية. ويُعطى كل وزن بالصيغة \(w_j = e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j / j!\)، وهو احتمال وقوع \(j\) من الأحداث في توزيع بواسون متوسطه \(\lambda/2\). أما الحد رقم \(j\) فهو كثافة F المركزية بدرجات حرية \((\nu_1 + 2j,\ \nu_2)\)، ويُكتب باستخدام دالة بيتا \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\). وفي حالة الاحتمال التراكمي تُستبدل كل كثافة بدالة التوزيع التراكمي F المركزية المقابلة لها، والتي تساوي دالة بيتا الناقصة المنظَّمة \(I_z(\nu_j/2,\ \nu_2/2)\) المحسوبة عند \(z = \nu_j x / (\nu_2 + \nu_j x)\).
$$F(x;\nu_1,\nu_2,\lambda) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; I_{z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\; \tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1\,x}{\nu_1\,x + \nu_2}$$
مثال محلول
لنأخذ \(\nu_1 = 3\) و\(\nu_2 = 2\) و\(\lambda = 0\) (الحالة المركزية)، ونحسب \(P\) عند \(x = 1\). عندئذٍ يكون $$z = \frac{3 \cdot 1}{2 + 3 \cdot 1} = 0.6$$ و\(P = I_{0.6}(1.5,\ 1.0)\). وبما أن \(I_z(a,1) = z^a\)، فإن هذا يساوي $$0.6^{1.5} = 0.464758$$ أي إن \(P\) تقارب \(0.4648\) و\(Q\) تقارب \(0.5352\). وعند إضافة معامل اللامركزية \(\lambda = 1\) تنزاح الكتلة الاحتمالية نحو قيم \(x\) الأكبر، فينخفض الاحتمال الأدنى إلى نحو \(P = 0.451\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما يكون \(\lambda = 0\)؟ تكون النتيجة هي توزيع F المركزي تماماً؛ إذ يحمل الحد \(j = 0\) وحده كل الوزن.
لماذا تكون الكثافة صفراً عند \(x = 0\)؟ عندما تكون \(\nu_1 \geq 2\) تساوي الكثافة \(0\) عند \(x = 0\)؛ أما حين تكون \(\nu_1 < 2\) فإنها تتباعد نحو ما لا نهاية كلما اقتربت \(x\) من الصفر، ولذا فإن قيمة الكثافة عند \(x = 0\) لا تحمل معنى في تلك الحالة.
ما مدى دقة المتسلسلة؟ تُجمَع أوزان بواسون حتى تصبح الكتلة التراكمية مساوية للواحد عملياً، وتُحسب دالة بيتا الناقصة عبر كسر مستمر مع استخدام لوغاريتم دالة غاما لضمان الاستقرار العددي، مما يحقق دقة عالية في معظم المدخلات المعتادة.
