ما هو عدد برنولي؟
أعداد برنولي \(B_n\) هي متتالية شهيرة من الأعداد النسبية تظهر في مجالات متعددة من الرياضيات: في الصيغ المغلقة لمجاميع قوى الأعداد الصحيحة، وفي صيغة أويلر–ماكلورين، وفي قيم دالة زيتا لريمان، وفي متسلسلات تايلور للدوال المثلثية والزائدية. تبني هذه الحاسبة جدولًا كاملًا لقيم \(B_n\) عبر أي نطاق مؤشرات تختاره، وتعرض كل قيمة على هيئة كسر دقيق مختزل (بسط ومقام موجب) إضافة إلى قيمته العشرية التقريبية.
الاصطلاح المعتمد
يوجد اصطلاحان شائعان لا يختلفان إلا عند المؤشر 1. تعتمد هذه الأداة اصطلاح "أعداد برنولي الأولى" حيث \(B_1 = -1/2\)، وهو الموافق للدالة المولِّدة \(\frac{x}{e^x - 1}\). وبذلك يكون \(B_0 = 1\) و\(B_1 = -1/2\) و\(B_2 = 1/6\) و\(B_4 = -1/30\) وهكذا. أما كل قيمة ذات مؤشر فردي أكبر من 1 فهي صفر تمامًا: \(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\).
طريقة الاستخدام
أدخل أصغر مؤشر \(n\) (لا يقل عن 0) وأكبر مؤشر \(n\) (حتى 100). اختر عدد الأرقام المعنوية لعمود القيمة العشرية — وهو إعداد عرض فقط لا يغيّر الكسر الدقيق إطلاقًا. اضغط "احسب" لتحصل على سطر واحد لكل عدد صحيح \(n\) ضمن النطاق.
شرح الصيغة
تُحسب كل قيمة \(B_n\) باستخدام العلاقة التراجعية $$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k,$$ انطلاقًا من \(B_0 = 1\). تُجرى كل الخطوات بحساب نسبي دقيق باستخدام أعداد صحيحة ذات دقة لا متناهية، فلا يحدث أي فيض في الفاصلة العائمة — فبينما تفشل جداول البيانات الاعتيادية عادةً قرب \(n = 18\)، تبقى هذه الأداة دقيقة إلى ما هو أبعد من ذلك بكثير.
مثال محلول
عند \(n = 2\) تعطي العلاقة التراجعية المجموع من \(k=0\) إلى 1 لـ $$\sum_{k=0}^{1}\binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2},$$ ومن ثم $$B_2 = -\tfrac{1}{3}\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6},$$ وهو ما يساوي \(0.1666\dots\) كقيمة عشرية. وبالمثل \(B_4 = -1/30\) و\(B_6 = 1/42\).
المصطلحات والرموز الأساسية
- \(B_n\) (عدد برنويلي)
- العضو \(n\)-th في متتالية من الأعداد النسبية التي تظهر في جميع أنحاء نظرية الأعداد والتحليل. القيم الأولى (باستخدام الاتفاقية \(B_1=-\tfrac12\)) هي \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\). جميع أعداد برنويلي ذات الفهرس الفردي \(n\ge 3\) تساوي بالضبط \(0\).
- دالة التوليد \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- دالة التوليد الأسية التي تعرّف أعداد برنويلي من خلال توسع متسلسلة القوى $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ معامل \(x^n/n!\) في هذه المتسلسلة هو بالضبط \(B_n\). تعطي هذه الاتفاقية \(B_1=-\tfrac12\).
- معامل ذي الحدين \(\binom{n+1}{k}\)
- عدد الطرق لاختيار \(k\) عناصر من \(n+1\)، يساوي \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\). هذه المعاملات هي الأوزان المطبقة على كل عدد برنويلي سابق داخل العلاقة التكرارية المستخدمة لبناء الجدول.
- علاقة تكرارية
- صيغة تعبر عن كل \(B_n\) من حيث جميع القيم ذات الفهرس الأقل \(B_0,\dots,B_{n-1}\): $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ بدءاً من \(B_0=1\)، فإنها تولد المتتالية بأكملها واحداً تلو الآخر.
- الكسر الدقيق (المختزل)
- تمثيل \(B_n\) كنسبة \(p/q\) من الأعداد الصحيحة في أبسط صورة، حيث \(\gcd(p,q)=1\) — على سبيل المثال \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\). لأن كل عدد برنويلي نسبي، فإن الكسر الدقيق لا يفقد أي دقة، على عكس الكسر العشري المقرب.
- الاتفاقيتان
- يختلف المؤلفون فقط في إشارة الحد الواحد \(B_1\). الاتفاقية الحديثة المستخدمة هنا تعيّن \(B_1=-\tfrac12\) (تطابق دالة التوليد \(x/(e^x-1)\))؛ اتفاقية أقدم تعيّن \(B_1=+\tfrac12\) (تطابق \(x/(1-e^{-x})\)). جميع \(B_n\) الأخرى متطابقة في كلا الاتفاقيتين، لذلك فإن أي جدول لا لبس فيه بمجرد ذكر قيمة \(B_1\).
الأسئلة الشائعة
لماذا قيمة \(B_1\) هي سالب نصف؟ لأننا نعتمد اصطلاح الدالة المولِّدة \(\frac{x}{e^x - 1}\). أما الاصطلاح "الثاني" البديل فيجعل \(B_1 = +1/2\)، وكل ما عداه يبقى متطابقًا.
لماذا تكون معظم الحدود الفردية أصفارًا؟ لأن الدالة \(\frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2}\) دالة زوجية، وهذا يفرض انعدام كل عدد برنولي ذي مؤشر فردي يساوي 3 أو أكبر.
هل يؤثر إعداد الدقة على صحة النتائج؟ لا. الكسر يبقى دقيقًا دائمًا؛ أما إعداد الدقة فيقوم فقط بتقريب القيمة العشرية المعروضة.
