베르누이 수란?

베르누이 수 $B_n$은 수학 곳곳에서 등장하는 유명한 유리수 수열입니다. 정수의 거듭제곱 합을 닫힌 형태로 나타낼 때, 오일러-매클로린 공식에서, 리만 제타 함수의 값에서, 그리고 삼각함수와 쌍곡선 함수의 테일러 급수에서 빠짐없이 나타나죠. 이 계산기는 여러분이 지정한 인덱스 범위에 대해 $B_n$의 전체 표를 만들어, 각 값을 약분된 정확한 분수(분자와 양의 분모)와 소수 근삿값으로 함께 보여줍니다.

처음 몇 개의 베르누이 수를 인덱스와 함께 분수로 보여주는 평면 표 형식 그리드 — 처음 베르누이 수 $B_0$부터 $B_8$까지를 정확한 분수로 표시하며, 홀수 인덱스 값($B_1$ 제외)은 0입니다.

사용하는 규약

흔히 쓰이는 두 가지 규약이 있는데, 이 둘은 인덱스 1에서만 차이가 납니다. 이 도구는 생성함수 $x/(e^x - 1)$에 대응하는 "제1종 베르누이 수" 규약, 즉 $B_1 = -1/2$를 사용합니다. 따라서 $B_0 = 1$, $B_1 = -1/2$, $B_2 = 1/6$, $B_4 = -1/30$ 식으로 이어집니다. 또한 1보다 큰 홀수 인덱스의 값은 모두 정확히 0입니다: $B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0$.

사용 방법

최소 인덱스 $n$(0 이상)과 최대 인덱스 $n$(100 이하)을 입력하세요. 그다음 소수 열에 표시할 유효숫자 자릿수를 고르면 됩니다. 이 자릿수는 단지 표시용 설정일 뿐, 정확한 분수 값에는 전혀 영향을 주지 않습니다. 계산 버튼을 누르면 범위 안의 정수 $n$마다 한 행씩 결과가 나옵니다.

공식 설명

각 $B_n$은 점화식으로 계산합니다. $B_0 = 1$에서 출발하여, 다음과 같이 구합니다.

$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$

모든 계산은 임의 정밀도 정수를 이용한 정확한 유리수 연산으로 이루어지므로 부동소수점 오버플로가 발생하지 않습니다. 일반적인 스프레드시트는 $n = 18$ 부근에서 오류가 나기 쉽지만, 이 도구는 그보다 훨씬 큰 값에서도 정확함을 유지합니다.

이전 베르누이 수를 결합하는 이항 계수를 보여주는 재귀 합 공식의 평면 다이어그램 — 각 베르누이 수는 이항 계수의 가중합을 통해 이전의 모든 수로부터 만들어집니다.

계산 예시

$n = 2$일 때 점화식을 적용하면 다음과 같이 되고,

$$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2}$$

따라서 다음과 같습니다.

$$B_2 = -\tfrac{1}{3}\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6}$$

즉 소수로는 $0.1666\dots$입니다. 같은 방식으로 $B_4 = -1/30$, $B_6 = 1/42$를 얻습니다.

주요 용어 및 기호

$B_n$ (베르누이 수): $n$번째 항으로, 수론과 해석학 전반에 걸쳐 나타나는 유리수 수열의 항입니다. 처음 몇 개 값($B_1=-\tfrac12$ 관례 사용)은 $B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}$입니다. $n\ge 3$인 홀수 지수를 가진 모든 베르누이 수는 정확히 $0$입니다.
생성함수 $\dfrac{x}{e^x-1}$: 멱급수 전개를 통해 베르누이 수를 정의하는 지수생성함수입니다. $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ 이 급수에서 $x^n/n!$의 계수가 정확히 $B_n$입니다. 이 관례는 $B_1=-\tfrac12$를 산출합니다.
이항계수 $\binom{n+1}{k}$: $n+1$개 중에서 $k$개를 선택하는 경우의 수로, $\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}$와 같습니다. 이 계수들은 표를 만드는 데 사용되는 점화식 내에서 각 이전 베르누이 수에 적용되는 가중치입니다.
점화식: 각 $B_n$을 모든 더 낮은 지수 값 $B_0,\dots,B_{n-1}$으로 표현하는 공식입니다: $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ $B_0=1$에서 시작하여 한 번에 하나의 지수씩 전체 수열을 생성합니다.
정확한 (기약) 분수: $B_n$을 최소 공배수인 정수의 비 $p/q$로 표현하는 것으로, $\gcd(p,q)=1$입니다. 예를 들어 $B_{12}=-\tfrac{691}{2730}$입니다. 모든 베르누이 수는 유리수이므로, 정확한 분수는 반올림된 소수와 달리 정밀도를 잃지 않습니다.
두 가지 관례: 저자들은 단 하나의 항 $B_1$의 부호에서만 다릅니다. 여기서 사용되는 현대 관례는 $B_1=-\tfrac12$(생성함수 $x/(e^x-1)$과 일치)를 설정합니다. 더 이전의 관례는 $B_1=+\tfrac12$(생성함수 $x/(1-e^{-x})$과 일치)를 설정합니다. 다른 모든 $B_n$은 두 관례에서 동일하므로, $B_1$의 값이 명시되면 모든 표는 명확합니다.

자주 묻는 질문

왜 $B_1$이 $-1/2$인가요? $x/(e^x - 1)$ 생성함수 규약을 사용하기 때문입니다. 또 다른 "제2종" 규약에서는 $B_1 = +1/2$로 두지만, 나머지 값은 모두 동일합니다.

왜 대부분의 홀수 항이 0인가요? 함수 $x/(e^x - 1) + x/2$가 우함수이기 때문에, 인덱스가 3 이상인 홀수 베르누이 수는 모두 0이 될 수밖에 없습니다.

정밀도 설정이 정확도에 영향을 주나요? 아니요. 분수는 언제나 정확하며, 정밀도는 화면에 표시되는 소수의 반올림 자릿수만 바꿉니다.

n	B_n의 분자	B_n의 분모	B_n (소수)
0	1	1	1
1	-1	2	-0.5
2	1	6	0.1666666666666666666667
3	0	1	0
4	-1	30	-0.03333333333333333333333
5	0	1	0
6	1	42	0.02380952380952380952381
7	0	1	0
8	-1	30	-0.03333333333333333333333
9	0	1	0
10	5	66	0.07575757575757575757576
11	0	1	0
12	-691	2730	-0.2531135531135531135531
13	0	1	0
14	7	6	1.166666666666666666667

베르누이 수 표 계산기

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