베르누이 수란?
베르누이 수 \(B_n\)은 수학 곳곳에서 등장하는 유명한 유리수 수열입니다. 정수의 거듭제곱 합을 닫힌 형태로 나타낼 때, 오일러-매클로린 공식에서, 리만 제타 함수의 값에서, 그리고 삼각함수와 쌍곡선 함수의 테일러 급수에서 빠짐없이 나타나죠. 이 계산기는 여러분이 지정한 인덱스 범위에 대해 \(B_n\)의 전체 표를 만들어, 각 값을 약분된 정확한 분수(분자와 양의 분모)와 소수 근삿값으로 함께 보여줍니다.
사용하는 규약
흔히 쓰이는 두 가지 규약이 있는데, 이 둘은 인덱스 1에서만 차이가 납니다. 이 도구는 생성함수 \(x/(e^x - 1)\)에 대응하는 "제1종 베르누이 수" 규약, 즉 \(B_1 = -1/2\)를 사용합니다. 따라서 \(B_0 = 1\), \(B_1 = -1/2\), \(B_2 = 1/6\), \(B_4 = -1/30\) 식으로 이어집니다. 또한 1보다 큰 홀수 인덱스의 값은 모두 정확히 0입니다: \(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\).
사용 방법
최소 인덱스 \(n\)(0 이상)과 최대 인덱스 \(n\)(100 이하)을 입력하세요. 그다음 소수 열에 표시할 유효숫자 자릿수를 고르면 됩니다. 이 자릿수는 단지 표시용 설정일 뿐, 정확한 분수 값에는 전혀 영향을 주지 않습니다. 계산 버튼을 누르면 범위 안의 정수 \(n\)마다 한 행씩 결과가 나옵니다.
공식 설명
각 \(B_n\)은 점화식으로 계산합니다. \(B_0 = 1\)에서 출발하여, 다음과 같이 구합니다.
$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$모든 계산은 임의 정밀도 정수를 이용한 정확한 유리수 연산으로 이루어지므로 부동소수점 오버플로가 발생하지 않습니다. 일반적인 스프레드시트는 \(n = 18\) 부근에서 오류가 나기 쉽지만, 이 도구는 그보다 훨씬 큰 값에서도 정확함을 유지합니다.
계산 예시
\(n = 2\)일 때 점화식을 적용하면 다음과 같이 되고,
$$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{2}$$따라서 다음과 같습니다.
$$B_2 = -\tfrac{1}{3}\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{6}$$즉 소수로는 \(0.1666\dots\)입니다. 같은 방식으로 \(B_4 = -1/30\), \(B_6 = 1/42\)를 얻습니다.
주요 용어 및 기호
- \(B_n\) (베르누이 수)
- \(n\)번째 항으로, 수론과 해석학 전반에 걸쳐 나타나는 유리수 수열의 항입니다. 처음 몇 개 값(\(B_1=-\tfrac12\) 관례 사용)은 \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\)입니다. \(n\ge 3\)인 홀수 지수를 가진 모든 베르누이 수는 정확히 \(0\)입니다.
- 생성함수 \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- 멱급수 전개를 통해 베르누이 수를 정의하는 지수생성함수입니다. $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ 이 급수에서 \(x^n/n!\)의 계수가 정확히 \(B_n\)입니다. 이 관례는 \(B_1=-\tfrac12\)를 산출합니다.
- 이항계수 \(\binom{n+1}{k}\)
- \(n+1\)개 중에서 \(k\)개를 선택하는 경우의 수로, \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\)와 같습니다. 이 계수들은 표를 만드는 데 사용되는 점화식 내에서 각 이전 베르누이 수에 적용되는 가중치입니다.
- 점화식
- 각 \(B_n\)을 모든 더 낮은 지수 값 \(B_0,\dots,B_{n-1}\)으로 표현하는 공식입니다: $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ \(B_0=1\)에서 시작하여 한 번에 하나의 지수씩 전체 수열을 생성합니다.
- 정확한 (기약) 분수
- \(B_n\)을 최소 공배수인 정수의 비 \(p/q\)로 표현하는 것으로, \(\gcd(p,q)=1\)입니다. 예를 들어 \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\)입니다. 모든 베르누이 수는 유리수이므로, 정확한 분수는 반올림된 소수와 달리 정밀도를 잃지 않습니다.
- 두 가지 관례
- 저자들은 단 하나의 항 \(B_1\)의 부호에서만 다릅니다. 여기서 사용되는 현대 관례는 \(B_1=-\tfrac12\)(생성함수 \(x/(e^x-1)\)과 일치)를 설정합니다. 더 이전의 관례는 \(B_1=+\tfrac12\)(생성함수 \(x/(1-e^{-x})\)과 일치)를 설정합니다. 다른 모든 \(B_n\)은 두 관례에서 동일하므로, \(B_1\)의 값이 명시되면 모든 표는 명확합니다.
자주 묻는 질문
왜 \(B_1\)이 \(-1/2\)인가요? \(x/(e^x - 1)\) 생성함수 규약을 사용하기 때문입니다. 또 다른 "제2종" 규약에서는 \(B_1 = +1/2\)로 두지만, 나머지 값은 모두 동일합니다.
왜 대부분의 홀수 항이 0인가요? 함수 \(x/(e^x - 1) + x/2\)가 우함수이기 때문에, 인덱스가 3 이상인 홀수 베르누이 수는 모두 0이 될 수밖에 없습니다.
정밀도 설정이 정확도에 영향을 주나요? 아니요. 분수는 언제나 정확하며, 정밀도는 화면에 표시되는 소수의 반올림 자릿수만 바꿉니다.
