什么是伯努利数？
伯努利数 \(B_n\) 是一组著名的有理数序列，在数学的众多领域中频繁出现：整数幂求和的闭式表达式、欧拉–麦克劳林公式、黎曼 ζ 函数的取值，以及三角函数和双曲函数的泰勒级数中都能看到它的身影。本计算器可以在你指定的任意下标区间内构建完整的 \(B_n\) 表格，每个数值同时以约分后的精确分数（含一个分子和一个正分母）和小数近似值两种形式呈现。
采用的约定
伯努利数存在两种常见约定，二者仅在下标为 1 时有所不同。本工具采用「第一类伯努利数」约定，即 \(B_1 = -1/2\)，与生成函数 \(\frac{x}{e^x - 1}\) 相对应。因此 \(B_0 = 1\)、\(B_1 = -1/2\)、\(B_2 = 1/6\)、\(B_4 = -1/30\)，以此类推。所有大于 1 的奇数下标对应的数值都恰好为零：\(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\)。
使用方法
输入下标 \(n\) 的最小值（不小于 0）和最大值（不超过 100），再选择小数列要显示的有效数字位数——这只是一个显示设置，绝不会改变精确分数本身。点击「计算」后，区间内的每个整数 \(n\) 都会生成一行结果。
公式解析
每个 \(B_n\) 都由递推公式计算得出：
$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$并从 \(B_0 = 1\) 开始递推。所有运算均采用任意精度整数的精确有理数运算，因此不会出现浮点溢出问题——普通电子表格通常在 \(n = 18\) 附近就会失效，而本工具远超此范围仍能保持精确。
计算示例
当 \(n = 2\) 时，递推公式给出
$$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$于是 \(B_2 = -\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6}\)，化为小数即约 \(0.1666\dots\)。同理，\(B_4 = -\frac{1}{30}\)，\(B_6 = \frac{1}{42}\)。
关键术语与符号
- \(B_n\) （伯努利数）
- \(n\) 阶项是一个有理数序列的成员，这个序列在数论和分析中普遍出现。前几个值（使用 \(B_1=-\tfrac12\) 约定）是 \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\)。所有奇数指标 \(n\ge 3\) 的伯努利数恰好等于 \(0\)。
- 生成函数 \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- 通过幂级数展开定义伯努利数的指数生成函数 $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ 该级数中 \(x^n/n!\) 的系数恰好是 \(B_n\)。此约定给出 \(B_1=-\tfrac12\)。
- 二项式系数 \(\binom{n+1}{k}\)
- 从 \(n+1\) 个项中选择 \(k\) 个项的方法数，等于 \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\)。这些系数是在构建表格时应用于每个较早伯努利数的权重。
- 递推关系
- 用所有更低指标值 \(B_0,\dots,B_{n-1}\) 表示每个 \(B_n\) 的公式：$$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ 从 \(B_0=1\) 开始，它每次生成序列中的一个指标值。
- 精确（最简）分数
- \(B_n\) 的表示为最简形式的整数比 \(p/q\)，其中 \(\gcd(p,q)=1\) — 例如 \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\)。因为每个伯努利数都是有理数，精确分数不会像四舍五入的小数那样丧失精度。
- 两种约定
- 作者仅在单个项 \(B_1\) 的符号上有差异。此处使用的现代约定设置 \(B_1=-\tfrac12\)（与生成函数 \(x/(e^x-1)\) 匹配）；较早的约定设置 \(B_1=+\tfrac12\)（与 \(x/(1-e^{-x})\) 匹配）。所有其他 \(B_n\) 在两种约定中是相同的，因此一旦说明了 \(B_1\) 的值，任何表格都是明确的。
常见问题
为什么 \(B_1\) 等于负二分之一？因为我们采用了 \(\frac{x}{e^x - 1}\) 这一生成函数约定。另一种「第二类」约定将 \(B_1\) 取为 \(+1/2\)，其余所有数值完全相同。
为什么大多数奇数项都是零？因为函数 \(\frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{2}\) 是偶函数，这就迫使所有下标为 3 或更大奇数的伯努利数都必须为零。
精度设置会影响计算结果的准确性吗？不会。分数始终是精确的；精度设置只影响所显示小数的四舍五入位数。
