बर्नौली संख्या क्या होती है?
बर्नौली संख्याएँ \(B_n\) परिमेय संख्याओं का एक प्रसिद्ध अनुक्रम हैं, जो गणित में जगह-जगह सामने आती हैं: पूर्णांकों की घातों के योग के बंद-रूप सूत्रों में, ऑयलर-मैक्लॉरिन सूत्र में, रीमान ज़ीटा फलन के मानों में, और त्रिकोणमितीय व अतिपरवलयिक फलनों की टेलर श्रेणी में। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए किसी भी इंडेक्स रेंज पर \(B_n\) की पूरी टेबल तैयार करता है और हर मान को एक सटीक लघुत्तम भिन्न (अंश और धनात्मक हर) तथा दशमलव सन्निकटन दोनों रूपों में दिखाता है।
प्रयुक्त परिपाटी
दो प्रचलित परिपाटियाँ हैं, जिनमें अंतर केवल इंडेक्स 1 पर है। यह टूल "पहली बर्नौली संख्या" परिपाटी का उपयोग करता है, जिसमें \(B_1 = -1/2\) होता है — यह जनक फलन \(x/(e^x - 1)\) से मेल खाता है। यानी \(B_0 = 1\), \(B_1 = -1/2\), \(B_2 = 1/6\), \(B_4 = -1/30\), और इसी तरह आगे। 1 से ऊपर के सभी विषम-इंडेक्स वाले मान ठीक शून्य होते हैं: \(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\)।
इसका उपयोग कैसे करें
न्यूनतम क्रमांक \(n\) (कम से कम 0) और अधिकतम क्रमांक \(n\) (100 तक) दर्ज करें। दशमलव कॉलम के लिए सार्थक अंकों की संख्या चुनें — यह केवल प्रदर्शन सेटिंग है और सटीक भिन्न को कभी नहीं बदलती। "गणना करें" दबाने पर रेंज के हर पूर्णांक \(n\) के लिए एक पंक्ति मिलेगी।
सूत्र की व्याख्या
हर \(B_n\) की गणना इस पुनरावृत्ति (recurrence) से होती है:
$$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$जिसकी शुरुआत \(B_0 = 1\) से होती है। सभी चरण मनमानी-परिशुद्धता वाले पूर्णांकों के साथ सटीक परिमेय अंकगणित में किए जाते हैं, इसलिए फ़्लोटिंग-पॉइंट ओवरफ़्लो नहीं होता — आम स्प्रेडशीट आम तौर पर \(n = 18\) के आसपास गड़बड़ा जाती हैं, पर यह टूल उससे कहीं आगे तक सटीक बना रहता है।
हल किया गया उदाहरण
\(n = 2\) के लिए पुनरावृत्ति देती है:
$$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$इसलिए
$$B_2 = -\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6}$$जो दशमलव में \(0.1666\dots\) के बराबर है। इसी तरह \(B_4 = -1/30\) और \(B_6 = 1/42\) निकलता है।
मुख्य शर्तें और प्रतीक
- \(B_n\) (बर्नौली संख्या)
- \(n\)-वीं सदस्य परिमेय संख्याओं के एक अनुक्रम की जो संख्या सिद्धांत और विश्लेषण में हर जगह दिखाई देता है। पहली कुछ मान (\(B_1=-\tfrac12\) परंपरा का उपयोग करते हुए) हैं \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\)। सभी बर्नौली संख्याएं जिनका विषम सूचकांक \(n\ge 3\) हो बिल्कुल \(0\) हैं।
- जनक फलन \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- घातांकीय जनक फलन जो बर्नौली संख्याओं को घात-श्रृंखला विस्तार के माध्यम से परिभाषित करता है $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ इस श्रृंखला में \(x^n/n!\) का गुणांक ठीक \(B_n\) है। यह परंपरा \(B_1=-\tfrac12\) देती है।
- द्विपद गुणांक \(\binom{n+1}{k}\)
- \(n+1\) से \(k\) वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या, जो \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\) के बराबर है। ये गुणांक वजन हैं जो तालिका बनाने में उपयोग किए जाने वाले पुनरावर्तन के अंदर प्रत्येक पहली बर्नौली संख्या पर लागू होते हैं।
- पुनरावर्तन संबंध
- एक सूत्र जो प्रत्येक \(B_n\) को सभी निम्न-सूचकांक मानों \(B_0,\dots,B_{n-1}\) के संदर्भ में व्यक्त करता है: $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ \(B_0=1\) से शुरू करते हुए, यह पूरे अनुक्रम को एक-एक करके सूचकांक द्वारा उत्पन्न करता है।
- सटीक (समानीयकृत) भिन्न
- \(B_n\) का प्रतिनिधित्व \(p/q\) के रूप में निम्नतम पदों में पूर्णांकों का अनुपात, जहाँ \(\gcd(p,q)=1\) — उदाहरण के लिए \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\)। क्योंकि प्रत्येक बर्नौली संख्या परिमेय है, एक सटीक भिन्न कोई सटीकता खोती नहीं है, गोल दशमलव के विपरीत।
- दोनों परंपराएं
- लेखक केवल एक एकल पद \(B_1\) के चिन्ह में भिन्न होते हैं। यहाँ उपयोग की गई आधुनिक परंपरा \(B_1=-\tfrac12\) निर्धारित करती है (जनक फलन \(x/(e^x-1)\) से मेल खाती है); एक पुरानी परंपरा \(B_1=+\tfrac12\) निर्धारित करती है (\(x/(1-e^{-x})\) से मेल खाती है)। अन्य सभी \(B_n\) दोनों परंपराओं में समान हैं, इसलिए कोई भी तालिका \(B_1\) के मान को बताए जाने के बाद स्पष्ट है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(B_1\) ऋणात्मक आधा क्यों है? क्योंकि हम \(x/(e^x - 1)\) वाली जनक-फलन परिपाटी का उपयोग करते हैं। वैकल्पिक "दूसरी" परिपाटी में \(B_1 = +1/2\) रखा जाता है; बाकी सब कुछ एक जैसा ही रहता है।
अधिकांश विषम पद शून्य क्यों होते हैं? फलन \(x/(e^x - 1) + x/2\) एक सम (even) फलन है, और इसी कारण 3 या उससे अधिक विषम इंडेक्स वाली हर बर्नौली संख्या शून्य हो जाती है।
क्या परिशुद्धता सेटिंग सटीकता को प्रभावित करती है? नहीं। भिन्न हमेशा सटीक रहता है; परिशुद्धता केवल दिखाए गए दशमलव को राउंड करती है।
