ベルヌーイ数とは
ベルヌーイ数 \(B_n\) は、数学のさまざまな場面に登場する有名な有理数の数列です。整数のべき乗和を閉じた形で表す公式、オイラー＝マクローリンの公式、リーマンゼータ関数の値、三角関数や双曲線関数のテイラー展開など、その応用は多岐にわたります。本ツールでは、お好みのインデックス範囲にわたって \(B_n\) の一覧表を作成し、各値を厳密な既約分数（分子と正の分母）と小数の近似値の両方で出力します。
採用している流儀
ベルヌーイ数にはインデックス 1 のところだけが異なる 2 つの一般的な流儀があります。本ツールでは母関数 \(x/(e^x - 1)\) に対応する「第一種ベルヌーイ数」、すなわち \(B_1 = -1/2\) の流儀を採用しています。したがって \(B_0 = 1\)、\(B_1 = -1/2\)、\(B_2 = 1/6\)、\(B_4 = -1/30\)、… となります。1 より大きい奇数番目の値はすべて 0 です（\(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\)）。
使い方
\(n\) の最小値（0 以上）と最大値（最大 100）を入力します。次に小数列に表示する有効桁数を選びます。これはあくまで表示上の設定であり、厳密な分数の値が変わることはありません。「計算」を押すと、範囲内の各整数 \(n\) につき 1 行ずつの結果が得られます。
計算式の解説
各 \(B_n\) は \(B_0 = 1\) を出発点として、漸化式 $$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k$$ によって求めます。計算はすべて任意精度整数による厳密な有理数演算で行うため、浮動小数点のオーバーフローは発生しません。一般的な表計算ソフトは \(n = 18\) 付近で破綻しがちですが、本ツールはそれをはるかに超えても厳密な値を保ちます。
計算例
\(n = 2\) の場合、漸化式の和は $$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k}\,B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$ となります。よって \(B_2 = -\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6}\) で、小数では \(0.1666\dots\) です。同様に \(B_4 = -\frac{1}{30}\)、\(B_6 = \frac{1}{42}\) となります。
主要用語と記号
- \(B_n\)（ベルヌーイ数）
- \(n\)番目の有理数列のメンバーで、数論と解析全体に現れます。最初のいくつかの値（\(B_1=-\tfrac12\)慣例を使用）は\(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\)です。奇数インデックス\(n\ge 3\)を持つすべてのベルヌーイ数は正確に\(0\)です。
- 生成関数\(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- べき級数展開を通じてベルヌーイ数を定義する指数生成関数 $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ このべき級数における\(x^n/n!\)の係数は正確に\(B_n\)です。この慣例は\(B_1=-\tfrac12\)をもたらします。
- 二項係数\(\binom{n+1}{k}\)
- \(n+1\)から\(k\)個の項目を選ぶ方法の数で、\(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\)に等しい。これらの係数は、テーブルを構築するために使用される漸化式内の各前のベルヌーイ数に適用される重みです。
- 漸化式
- 各\(B_n\)をすべての低いインデックス値\(B_0,\dots,B_{n-1}\)の項で表現する公式 $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ \(B_0=1\)から始めて、シーケンス全体をインデックスごとに1つずつ生成します。
- 正確な（既約）分数
- \(B_n\)を整数の比\(p/q\)として最小項で表現したもので、\(\gcd(p,q)=1\)です。例えば\(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\)。すべてのベルヌーイ数が有理数であるため、正確な分数は丸められた小数と異なり、精度を失いません。
- 2つの慣例
- 著者は単一の項\(B_1\)の符号のみで異なります。ここで使用される近代的な慣例は\(B_1=-\tfrac12\)に設定されます（生成関数\(x/(e^x-1)\)と一致）。より古い慣例は\(B_1=+\tfrac12\)に設定されます（\(x/(1-e^{-x})\)と一致）。他のすべての\(B_n\)は両方の慣例で同じですので、\(B_1\)の値が述べられると、どのテーブルでも曖昧性がなくなります。
よくある質問
なぜ \(B_1\) は \(-1/2\) なのですか？ 母関数 \(x/(e^x - 1)\) の流儀を採用しているためです。もう一方の「第二種」の流儀では \(B_1 = +1/2\) とされますが、それ以外の値はすべて同じです。
なぜ奇数番目の項はほとんど 0 なのですか？ 関数 \(x/(e^x - 1) + x/2\) が偶関数になるため、3 以上の奇数インデックスをもつベルヌーイ数はすべて 0 になるからです。
精度の設定は計算の正確さに影響しますか？ いいえ。分数は常に厳密です。精度の設定は表示する小数を丸めるだけで、本来の値には影響しません。
