Qu'est-ce qu'un nombre de Bernoulli ?
Les nombres de Bernoulli \(B_n\) forment une célèbre suite de nombres rationnels qui apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques : dans les formules closes des sommes de puissances d'entiers, dans la formule d'Euler-Maclaurin, dans les valeurs de la fonction zêta de Riemann, ou encore dans les séries de Taylor des fonctions trigonométriques et hyperboliques. Ce calculateur construit une table complète des \(B_n\) sur l'intervalle d'indices de votre choix, en affichant chaque valeur à la fois sous forme de fraction exacte réduite (un numérateur et un dénominateur positif) et sous forme d'approximation décimale.
La convention utilisée
Il existe deux conventions courantes, qui ne diffèrent qu'au niveau de l'indice 1. Cet outil adopte la convention des « premiers nombres de Bernoulli », avec \(B_1 = -1/2\), correspondant à la fonction génératrice \(x/(e^x - 1)\). On a ainsi \(B_0 = 1\), \(B_1 = -1/2\), \(B_2 = 1/6\), \(B_4 = -1/30\), et ainsi de suite. Toutes les valeurs d'indice impair supérieur à 1 sont exactement nulles : \(B_3 = B_5 = B_7 = \dots = 0\).
Comment l'utiliser
Saisissez l'indice minimal \(n\) (au moins 0) et l'indice maximal \(n\) (jusqu'à 100). Choisissez le nombre de chiffres significatifs pour la colonne décimale : il s'agit uniquement d'un réglage d'affichage, qui ne modifie jamais la fraction exacte. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir une ligne par entier \(n\) compris dans l'intervalle.
La formule expliquée
Chaque \(B_n\) est calculé à partir de la relation de récurrence $$B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k,$$ en partant de \(B_0 = 1\). Tous les calculs sont effectués en arithmétique rationnelle exacte avec des entiers de précision arbitraire : il n'y a donc aucun dépassement de capacité en virgule flottante. Là où les tableurs classiques échouent généralement dès \(n = 18\) environ, cet outil reste exact bien au-delà.
Exemple détaillé
Pour \(n = 2\), la récurrence donne $$\sum_{k=0}^{1} \binom{3}{k} B_k = 1\times 1 + 3\times\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2},$$ d'où $$B_2 = -\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6},$$ soit \(0{,}1666\dots\) en écriture décimale. De la même façon, \(B_4 = -1/30\) et \(B_6 = 1/42\).
Foire aux questions
Pourquoi \(B_1\) vaut-il moins un demi ? Parce que nous utilisons la convention de la fonction génératrice \(x/(e^x - 1)\). L'autre convention, dite « seconde », pose \(B_1 = +1/2\) ; tout le reste est identique.
Pourquoi la plupart des termes impairs sont-ils nuls ? Parce que la fonction \(x/(e^x - 1) + x/2\) est paire, ce qui contraint tout nombre de Bernoulli d'indice impair supérieur ou égal à 3 à s'annuler.
Le réglage de précision influe-t-il sur l'exactitude ? Non. La fraction est toujours exacte ; la précision ne fait qu'arrondir le décimal affiché.
Termes et symboles clés
- \(B_n\) (nombre de Bernoulli)
- Le \(n\)-ième élément d'une suite de nombres rationnels qui apparaît dans toute la théorie des nombres et l'analyse. Les premières valeurs (en utilisant la convention \(B_1=-\tfrac12\)) sont \(B_0=1,\ B_1=-\tfrac12,\ B_2=\tfrac16,\ B_3=0,\ B_4=-\tfrac1{30}\). Tous les nombres de Bernoulli avec indice impair \(n\ge 3\) sont exactement \(0\).
- Fonction génératrice \(\dfrac{x}{e^x-1}\)
- La fonction génératrice exponentielle qui définit les nombres de Bernoulli par l'expansion en série de puissances $$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n\,\frac{x^n}{n!}.$$ Le coefficient de \(x^n/n!\) dans cette série est précisément \(B_n\). Cette convention donne \(B_1=-\tfrac12\).
- Coefficient binomial \(\binom{n+1}{k}\)
- Le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n+1\), égal à \(\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\). Ces coefficients sont les poids appliqués à chaque nombre de Bernoulli antérieur dans la récurrence utilisée pour construire le tableau.
- Relation de récurrence
- Une formule qui exprime chaque \(B_n\) en termes de toutes les valeurs d'indice inférieur \(B_0,\dots,B_{n-1}\) : $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}\,B_k.$$ En partant de \(B_0=1\), elle génère la suite entière un indice à la fois.
- Fraction exacte (réduite)
- Une représentation de \(B_n\) comme un rapport \(p/q\) d'entiers en termes réduits, où \(\gcd(p,q)=1\) — par exemple \(B_{12}=-\tfrac{691}{2730}\). Puisque chaque nombre de Bernoulli est rationnel, une fraction exacte ne perd aucune précision, contrairement à une décimale arrondie.
- Les deux conventions
- Les auteurs ne diffèrent que par le signe du seul terme \(B_1\). La convention moderne utilisée ici définit \(B_1=-\tfrac12\) (correspondant à la fonction génératrice \(x/(e^x-1)\)) ; une convention plus ancienne définit \(B_1=+\tfrac12\) (correspondant à \(x/(1-e^{-x})\)). Tous les autres \(B_n\) sont identiques dans les deux conventions, donc tout tableau est sans ambiguïté une fois que la valeur de \(B_1\) est énoncée.
