Qu'est-ce que le calculateur de table des nombres de Fibonacci ?
Cet outil construit une table des nombres de Fibonacci \(F_n\) pour une plage de valeurs de l'indice. Vous choisissez le premier indice n, la valeur dont n augmente à chaque ligne (le pas) et le nombre de lignes souhaité. Le calculateur affiche alors chaque n accompagné de sa valeur de Fibonacci et représente graphiquement la rapidité avec laquelle la suite croît. Il s'agit d'un outil purement mathématique : il fonctionne de manière identique partout, sans aucune hypothèse régionale.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur initiale de l'indice n (le premier n affiché), le pas (de combien n augmente à chaque ligne) et le nombre de répétitions (le nombre de lignes). Par exemple, un indice de départ de 1, un pas de 1 et 13 lignes produisent la suite classique 1, 1, 2, 3, 5, 8, … jusqu'à \(F_{13} = 233\).
La formule expliquée
La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence \(F_1 = 1\), \(F_2 = 1\) et
$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$pour \(n \ge 3\). Il existe aussi la formule explicite de Binet,
$$F_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}$$qui donne les mêmes entiers mais peut être entachée d'erreurs de virgule flottante pour les grands n. Ce calculateur utilise la récurrence exacte sur les entiers. Pour \(n \le 0\), il applique la règle généralisée (négafibonacci) \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\), d'où \(F_0 = 0\), \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\).
Exemple détaillé
Avec un indice de départ de 5, un pas de 2 et 4 lignes, les valeurs de n sont 5, 7, 9, 11. Leurs valeurs de Fibonacci sont 5, 13, 34 et 89. La dernière valeur de la table est donc \(F_{11} = 89\).
Foire aux questions
Le pas peut-il être supérieur à 1 ? Oui. Un pas de 2 évalue un indice sur deux, un pas de 3 un indice sur trois, et ainsi de suite.
Les indices négatifs sont-ils pris en charge ? Oui, grâce à l'extension négafibonacci. Un indice de départ de 0 donne \(F_0 = 0\).
Jusqu'où n peut-il aller ? Les valeurs sont calculées avec des entiers sur 64 bits et restent exactes jusqu'à environ \(F_{90}\) ; au-delà, les très grandes valeurs risquent de dépasser la capacité de stockage (dépassement de capacité).
