ما هي حاسبة جدول أعداد فيبوناتشي؟
تُنشئ هذه الأداة جدولاً لأعداد فيبوناتشي \(F_n\) ضمن نطاق من قيم المؤشر. تختار أنت أول مؤشر n، ومقدار زيادة n في كل صف (الزيادة)، وعدد الصفوف المطلوبة. بعد ذلك تَعرِض الحاسبة كل قيمة n مقترنة بقيمة فيبوناتشي المقابلة لها، وترسم بياناً يوضح السرعة التي تنمو بها المتتالية. وهي أداة رياضية بحتة، لذا تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي افتراضات إقليمية.
طريقة الاستخدام
أدخل القيمة الأولية للمؤشر n (أول قيمة n تظهر)، ثم الزيادة (مقدار نمو n في كل صف)، ثم عدد التكرارات (عدد الصفوف). على سبيل المثال، عند بدء المؤشر من 1 بزيادة قدرها 1 و13 صفاً، تحصل على المتتالية الكلاسيكية 1، 1، 2، 3، 5، 8، ... وصولاً إلى \(F_{13} = 233\).
شرح المعادلة
تُعرَّف متتالية فيبوناتشي بالعلاقة التراجعية \(F_1 = 1\)، و\(F_2 = 1\)، و\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) حين تكون \(n \ge 3\). وهناك أيضاً صيغة بينيه المغلقة، $$F_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}$$ التي تُعطي الأعداد الصحيحة نفسها لكنها قد تتأثر بخطأ الفاصلة العائمة عند القيم الكبيرة لـ n. تعتمد هذه الحاسبة على العلاقة التراجعية بالأعداد الصحيحة الدقيقة. وعندما تكون \(n \le 0\) فإنها تستخدم القاعدة المعمَّمة (نيغافيبوناتشي) \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\)، بحيث يكون \(F_0 = 0\)، و\(F_{-1} = 1\)، و\(F_{-2} = -1\).
مثال محلول
عند بدء المؤشر من 5 بزيادة قدرها 2 و4 صفوف، تكون قيم n هي 5، 7، 9، 11. وقيم فيبوناتشي المقابلة لها هي 5، 13، 34، 89. وبذلك تكون القيمة الأخيرة في الجدول هي \(F_{11} = 89\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون الزيادة أكبر من 1؟ نعم. زيادة قدرها 2 تحسب كل مؤشر ثانٍ، وزيادة قدرها 3 تحسب كل مؤشر ثالث، وهكذا.
هل يدعم المؤشرات السالبة؟ نعم، عبر امتداد نيغافيبوناتشي. وإذا بدأ المؤشر من 0 فإن النتيجة هي \(F_0 = 0\).
ما أقصى قيمة يمكن أن تبلغها n؟ تُحسب القيم باستخدام أعداد صحيحة بطول 64 بت وتبقى دقيقة حتى نحو \(F_{90}\)؛ أما بعد ذلك فقد تتجاوز القيم الضخمة جداً سعة التخزين.
