ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة دالة فيبوناتشي \(F(\nu)\)، وهي امتداد لأعداد فيبوناتشي المألوفة من الأسس الصحيحة إلى أي عدد حقيقي \(\nu\). تعتمد على الصيغة المغلقة (على نمط بينيه) للامتداد الحقيقي، وتبني جدولًا من أزواج (الأس \(\nu\)، القيمة \(F(\nu)\)) على المدى الذي تختاره. هذه رياضيات بحتة، لذا فهي تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
الصيغة الرياضية
لتكن \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) هي النسبة الذهبية (نحو 1.6180339887)، ولاحظ أن \(1/\varphi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). فإن دالة فيبوناتشي الحقيقية هي:
$$F(\nu) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{\nu} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\right]$$
في صيغة بينيه المتقطعة \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) حيث \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -1/\varphi\)، يكون الحد \(\psi^{\nu}\) متعدد القيم بالنسبة للأعداد الحقيقية \(\nu\). وبأخذ الفرع الحقيقي نحصل على \(\psi^{\nu} = \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\)، وهو ما يعيد إنتاج صيغة بينيه للأعداد الصحيحة تمامًا لأن \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\).
كيفية الاستخدام
أدخل القيمة الأولية للأس \(\nu\) (قيمة \(\nu\) في الصف الأول)، ومقدار الزيادة (مقدار تغير \(\nu\) في كل صف، وقد يكون سالبًا)، وعدد التكرارات (عدد الصفوف). تعرض الحاسبة قيمة \(F(\nu)\) لكل \(\nu_k = \text{القيمة الأولية} + k \cdot \text{مقدار الزيادة}\)، وتُبرز القيمتين الأولى والأخيرة.
مثال محلول
عند \(\nu = 10\): \(\varphi^{10} \approx 122.9919\) و\((1/\varphi)^{10} \approx 0.00813\)، مع \(\cos(10\pi) = 1\). إذن \(F(10) = \frac{122.9919 - 0.00813}{\sqrt{5}} = 55\)، وهو ما يطابق عدد فيبوناتشي العاشر. وعند \(\nu = 0.5\)، يكون \(\cos(0.5\pi) = 0\)، ومن ثَمّ \(F(0.5) = \frac{\varphi^{0.5}}{\sqrt{5}} \approx 0.568864\).
الأسئلة الشائعة
هل تُرجِع أعداد فيبوناتشي المعتادة؟ نعم — عند كل أس صحيح تختزل إلى صيغة بينيه القياسية، بما في ذلك قيم "فيبوناتشي السالبة" عند الأسس السالبة.
لماذا نستخدم \(\cos(\nu\pi)\)؟ لأنه الفرع الحقيقي للحد \(\psi^{\nu}\)، وهو ما يوفر الإشارة المتناوبة التي تجعل قيم الأسس الصحيحة مضبوطة تمامًا.
هل توجد امتدادات أخرى ممكنة؟ نعم؛ توجد امتدادات تحليلية بقيم عقدية وأخرى تعتمد على دالة الجيب. تستخدم هذه الحاسبة تحديدًا امتداد الفرع الحقيقي \(F(\nu) = \frac{\varphi^{\nu} - (1/\varphi)^{\nu}\cos(\nu\pi)}{\sqrt{5}}\).
