यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल फिबोनाची फंक्शन \(F(v)\) की गणना करता है: यानी जानी-पहचानी फिबोनाची संख्याओं को पूर्णांक इंडेक्स से बढ़ाकर किसी भी वास्तविक संख्या \(v\) तक ले जाना। यह बंद-रूप (Binet-शैली) वास्तविक विस्तार का उपयोग करता है और आपकी चुनी हुई रेंज में (इंडेक्स \(v\), मान \(F(v)\)) जोड़ों की एक टेबल बना देता है। यह विशुद्ध गणित है, इसलिए यह हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
सूत्र
मान लीजिए \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) स्वर्णिम अनुपात (golden ratio) है (लगभग \(1.6180339887\)), और ध्यान दें कि \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\) होता है। वास्तविक फिबोनाची फंक्शन इस प्रकार है:
$$F(v) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{v} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\right]$$
विविक्त (discrete) Binet सूत्र \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) में, जहाँ \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\) है, वास्तविक \(v\) के लिए पद \(\psi^{v}\) बहु-मानी (multi-valued) हो जाता है। इसकी वास्तविक शाखा (real branch) लेने पर \(\psi^{v} = \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\) मिलता है, जो पूर्णांक Binet सूत्र को ठीक-ठीक दोबारा देता है क्योंकि \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\) होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
इंडेक्स \(v\) का प्रारंभिक मान (पहली पंक्ति का \(v\)), वृद्धि (Increment) (हर पंक्ति में \(v\) कितना बदलता है — यह ऋणात्मक भी हो सकता है), और पंक्तियों की संख्या (कुल कितनी पंक्तियाँ चाहिए) दर्ज करें। कैलकुलेटर प्रत्येक \(v_k = \text{प्रारंभिक इंडेक्स} + k\cdot\text{चरण-आकार}\) के लिए \(F(v)\) सूचीबद्ध करता है और पहले व अंतिम मान को हाइलाइट कर देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(v = 10\) पर: \(\varphi^{10} \approx 122.9919\) और \(\left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0.00813\), साथ ही \(\cos(10\pi) = 1\)। अतः $$F(10) = \frac{122.9919 - 0.00813}{\sqrt{5}} = 55,$$ जो दसवीं फिबोनाची संख्या से मेल खाता है। \(v = 0.5\) पर \(\cos(0.5\pi) = 0\) होता है, इसलिए \(F(0.5) = \frac{\varphi^{0.5}}{\sqrt{5}} \approx 0.568864\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह सामान्य फिबोनाची संख्याएँ ही देता है? हाँ — हर पूर्णांक इंडेक्स पर यह मानक Binet सूत्र में सिमट जाता है, जिसमें ऋणात्मक इंडेक्स वाली "negafibonacci" वैल्यूज़ भी शामिल हैं।
\(\cos(v\pi)\) का उपयोग क्यों? यह \(\psi^{v}\) की वास्तविक शाखा है और वही बदलता-क्रमिक चिह्न (alternating sign) देती है जो पूर्णांक इंडेक्स को सटीक बनाता है।
क्या अन्य विस्तार भी संभव हैं? हाँ; सम्मिश्र-मान (complex-valued) और साइन-आधारित विश्लेषणात्मक विस्तार (analytic continuation) भी मौजूद हैं। यह कैलकुलेटर विशेष रूप से वास्तविक-शाखा विस्तार \(F(v) = \frac{\varphi^{v} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)}{\sqrt{5}}\) का उपयोग करता है।
