この計算機でできること
このツールはフィボナッチ関数 \(F(\nu)\) を計算します。これは、おなじみのフィボナッチ数を整数の添字から任意の実数 \(\nu\) へと拡張したものです。閉じた形（ビネの公式型）の実数拡張を用い、指定した範囲にわたって（添字 \(\nu\)、値 \(F(\nu)\)）の組を数表にまとめます。純粋に数学的な計算なので、どの国・地域でも同じように成り立ちます。
計算式
黄金比を \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)（約 1.6180339887）とし、\(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\) であることに注意します。実数フィボナッチ関数は次のとおりです。
$$F(\nu) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{\nu} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\right]$$
離散版のビネの公式 \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) では \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\) ですが、\(\psi^{\nu}\) は実数 \(\nu\) に対して多価になります。その実数枝をとると \(\psi^{\nu} = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\) となり、\(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\) が成り立つため、整数の添字ではビネの公式を完全に再現します。
使い方
添字 \(\nu\) の初期値（最初の行の \(\nu\)）、増分（1 行ごとに \(\nu\) がどれだけ変化するか。負の値も可）、繰り返し回数（行数）を入力します。計算機は各 \(\nu_k = \text{初期値} + k\cdot\text{増分}\) について \(F(\nu)\) を一覧表示し、最初と最後の値を強調表示します。
計算例
\(\nu = 10\) のとき、\(\varphi^{10} \approx 122.9919\)、\(\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0.00813\)、\(\cos(10\pi) = 1\) です。したがって \(F(10) = \frac{122.9919 - 0.00813}{\sqrt{5}} = 55\) となり、10 番目のフィボナッチ数と一致します。\(\nu = 0.5\) のときは \(\cos(0.5\pi) = 0\) なので、\(F(0.5) = \frac{\varphi^{0.5}}{\sqrt{5}} \approx 0.568864\) となります。
よくある質問
通常のフィボナッチ数も得られますか？ はい。すべての整数の添字で標準的なビネの公式に一致し、負の添字の「ネガフィボナッチ」値も含みます。
なぜ \(\cos(\nu\pi)\) を使うのですか？ これは \(\psi^{\nu}\) の実数枝であり、整数の添字を厳密に再現するために必要な符号の交替をもたらすからです。
ほかの拡張もありますか？ はい。複素数値や正弦関数に基づく解析接続も存在します。本計算機は実数枝による拡張 \(F(\nu) = \frac{\varphi^{\nu} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)}{\sqrt{5}}\) を採用しています。
