這個計算器的功能
本工具用來計算費氏函數 \(F(v)\)，也就是把大家熟悉的費波那契數從整數階推廣到任意實數 \(v\) 的版本。它採用閉合形式（Binet 公式風格）的實數延伸，並依你設定的範圍，產生一份（階數 \(v\)、函數值 \(F(v)\)）的對照表。這純粹是數學運算，因此放諸四海皆適用，不受任何國家或地區規則影響。
計算公式
設黃金比例 \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)（約 \(1.6180339887\)），並注意 \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\)。實數費氏函數為：
$$F(v) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{v} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\right]$$離散的 Binet 公式為 \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\)，其中 \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\)。對實數 \(v\) 而言，\(\psi^{v}\) 是多值的。取其實數分支可得 \(\psi^{v} = \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\)，由於 \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\)，所以在整數階時能完全還原成原本的 Binet 公式。
使用方法
輸入階數 \(v\) 的起始值（第一列的 \(v\)）、增量（每一列 \(v\) 的變化量，可為負數），以及重複次數（要產生幾列）。計算器會依 \(v_k = \text{起始值} + k\cdot\text{增量}\) 逐列列出對應的 \(F(v)\)，並標示出第一個與最後一個值。
實例演算
當 \(v = 10\)：\(\varphi^{10} \approx 122.9919\)，\(\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0.00813\)，且 \(\cos(10\pi) = 1\)。因此 $$F(10) = \frac{122.9919 - 0.00813}{\sqrt{5}} = 55$$ 正好等於第十個費波那契數。當 \(v = 0.5\) 時，\(\cos(0.5\pi) = 0\)，所以 \(F(0.5) = \frac{\varphi^{0.5}}{\sqrt{5}} \approx 0.568864\)。
常見問題
它會算出一般的費波那契數嗎？會。在每個整數階上，它都會還原為標準的 Binet 公式，包括負數階的「負費波那契（negafibonacci）」數值。
為什麼要用 \(\cos(v\pi)\)？因為它是 \(\psi^{v}\) 的實數分支，能提供正負交替的符號，讓整數階的結果完全吻合。
還有其他延伸方式嗎？有的；也存在複數值與以正弦函數為基礎的解析延拓。本計算器採用的是特定的實數分支延伸：\(F(v) = \frac{\varphi^{v} - \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)}{\sqrt{5}}\)。
