修正球面貝索函數 i_v(x)、k_v(x) 及其導數計算器

輸入計算

階數 v（整數，無因次）

x（引數，x > 0） 當 x ≤ 0 時，實數結果可能為複數或無定義。

數學公式

Show calculation steps (2)

1. Upward recurrence to order v

   

   Applied for v = Order >= 1 to reach i_v and k_v; n runs from 1 up to v.

2. Derivatives

   

   First derivatives of the modified spherical Bessel functions at order v.

結果

Modified Spherical Bessel (first kind) i_v(x)

1.8134302039

無因次

Second kind kv(x)	0.1062920829
Derivative i'v(x)	-0.9743827436
Derivative k'v(x)	-0.1594381243

這個計算器的功能

本工具可計算第一類修正球面貝索函數 i_v(x) 與第二類 k_v(x)，並一併求出其一階導數 i'_v(x) 與 k'_v(x)，適用於非負整數階 v 與正實數引數 x。這些屬於純數學的特殊函數，世界各地的定義完全相同，不涉及任何地區性或單位上的假設。

背景與公式

這些函數是修正球面貝索方程 x²w″ + 2xw′ − (x² + v(v+1))w = 0 的解。透過半整數階的位移，它們與柱形修正貝索函數相關聯：i_v(x) = √(π/2x)·I_v+1/2(x)、k_v(x) = √(2/πx)·K_v+1/2(x)。由於整數 v 加上 +1/2 後階數成為半整數，這些函數便可化簡為含 sinh、cosh 與 exp 的初等表達式。我們以 i₀=sinh(x)/x、i₁=cosh(x)/x−sinh(x)/x²、k₀=(π/2x)e^−x、k₁=(π/2x)e^−x(1+1/x) 作為起始值，再逐階向上遞推至所需階數。導數則採用 f'_v = −f_v+1 + (v/x)f_v。

隨著 x 增大，第一類函數 i_v(x) 增長，而第二類 k_v(x) 衰減。

使用方法

輸入整數階 v（0、1、2、…）與引數 x（須滿足 x > 0），即可讀取四項輸出結果。請留意，本工具採用的慣例為 k_v(x)=√(2/πx)K_v+1/2(x)，因此在 k₀ 中會出現 π/2 這個係數；部分文獻則省略此係數。

實例演算（v = 0、x = 2）

i₀(2)=sinh(2)/2=3.6268604/2=1.8134302。i₁(2)=cosh(2)/2−sinh(2)/4=1.8810978−0.9067151=0.9743827，因此 i'₀(2)=−i₁(2)=−0.9743827。k₀(2)=(π/4)e⁻²=0.1062930，k₁(2)=k₀·1.5=0.1594394，因此 k'₀(2)=−k₁(2)=−0.1594394。

常見問題

可以使用非整數階 v 嗎？這個實數版本僅支援非負整數階，此時函數為初等形式。非整數階則需進行完整的 I/K 貝索函數計算。

為什麼 x 必須為正？當 x→0 時 k_v(x) 會發散，而 x<0 時結果會變為複數，因此實數版本要求 x > 0。

i_v 與 k_v 有什麼差別？i_v 呈指數成長，且在原點處表現正則；k_v 呈指數衰減，但在原點處為奇異。