संशोधित गोलीय बेसेल फलन i_v(x), k_v(x) और उनके अवकलज कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

कोटि v (पूर्णांक, विमाहीन)

x (मान, x > 0) x ≤ 0 के लिए वास्तविक-मान वाले परिणाम सम्मिश्र या अपरिभाषित हो सकते हैं।

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Upward recurrence to order v

   

   Applied for v = Order >= 1 to reach i_v and k_v; n runs from 1 up to v.

2. Derivatives

   

   First derivatives of the modified spherical Bessel functions at order v.

परिणाम

Modified Spherical Bessel (first kind) i_v(x)

1.8134302039

विमाहीन

Second kind kv(x)	0.1062920829
Derivative i'v(x)	-0.9743827436
Derivative k'v(x)	-0.1594381243

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी अऋणात्मक पूर्णांक कोटि v और धनात्मक वास्तविक मान x के लिए पहली कोटि के संशोधित गोलीय बेसेल फलन i_v(x) तथा दूसरी कोटि के k_v(x), साथ ही उनके प्रथम अवकलज i'_v(x) और k'_v(x) का मान निकालता है। ये गणित के शुद्ध विशेष फलन हैं — इनमें कोई क्षेत्रीय या इकाई-संबंधी मान्यता नहीं होती और ये हर जगह समान रूप से लागू होते हैं।

पृष्ठभूमि और सूत्र

ये फलन संशोधित गोलीय बेसेल समीकरण \(x^2 w'' + 2x w' - (x^2 + v(v+1))w = 0\) को हल करते हैं। आधे-पूर्णांक कोटि के अंतराल के माध्यम से ये बेलनाकार संशोधित बेसेल फलनों से जुड़े होते हैं: \(i_v(x) = \sqrt{\pi/2x}\cdot I_{v+1/2}(x)\) तथा \(k_v(x) = \sqrt{2/\pi x}\cdot K_{v+1/2}(x)\)। चूँकि +1/2 का यह अंतराल पूर्णांक v के लिए कोटि को आधा-पूर्णांक बना देता है, इसलिए ये फलन sinh, cosh और exp वाले प्राथमिक व्यंजकों में सरल हो जाते हैं। हम इन से शुरुआत करते हैं

$$i_0 = \frac{\sinh x}{x}, \quad i_1 = \frac{\cosh x}{x} - \frac{\sinh x}{x^{2}}$$$$k_0 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}, \quad k_1 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}\!\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$

और फिर चरण-दर-चरण आगे बढ़कर वांछित कोटि तक पहुँचते हैं। अवकलज के लिए \(f'_v = -f_{v+1} + (v/x)f_v\) का प्रयोग होता है।

x बढ़ने पर पहले प्रकार का फलन i_v(x) बढ़ता है, जबकि दूसरे प्रकार का k_v(x) घटता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पूर्णांक कोटि v (0, 1, 2, …) और x > 0 के साथ मान x दर्ज करें, फिर चारों परिणाम पढ़ें। ध्यान दें कि यहाँ अपनाई गई परिपाटी \(k_v(x) = \sqrt{2/\pi x}\,K_{v+1/2}(x)\) है, जिससे \(k_0\) में दिखाई देने वाला \(\pi/2\) गुणक आता है; कुछ संदर्भ इसे छोड़ देते हैं।

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हल किया गया उदाहरण (v = 0, x = 2)

$$i_0(2) = \frac{\sinh(2)}{2} = \frac{3.6268604}{2} = 1.8134302$$ $$i_1(2) = \frac{\cosh(2)}{2} - \frac{\sinh(2)}{4} = 1.8810978 - 0.9067151 = 0.9743827$$ अतः \(i'_0(2) = -i_1(2) = -0.9743827\)। $$k_0(2) = \frac{\pi}{4}e^{-2} = 0.1062930$$ $$k_1(2) = k_0\cdot 1.5 = 0.1594394$$ अतः \(k'_0(2) = -k_1(2) = -0.1594394\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मैं गैर-पूर्णांक कोटि v का उपयोग कर सकता हूँ? यह वास्तविक-मान वाला संस्करण अऋणात्मक पूर्णांक कोटियों का समर्थन करता है, जहाँ ये फलन प्राथमिक रूप में होते हैं। गैर-पूर्णांक कोटियों के लिए पूर्ण I/K बेसेल मूल्यांकन की आवश्यकता होती है।

x को धनात्मक क्यों होना चाहिए? जैसे-जैसे \(x \to 0\) होता है \(k_v(x)\) अपसरित हो जाता है, और \(x < 0\) के लिए परिणाम सम्मिश्र (complex) बन जाते हैं, इसलिए वास्तविक संस्करण में x > 0 आवश्यक है।

i_v और k_v में क्या अंतर है? i_v चरघातांकी रूप से बढ़ता है और मूल बिंदु पर नियमित (regular) रहता है; जबकि k_v चरघातांकी रूप से घटता है और मूल बिंदु पर अनन्तक (singular) होता है।