यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी निश्चित वास्तविक कोटि v के लिए प्रथम प्रकार के सुधारित बेसेल फलन \(I_{v}(x)\) की टेबल बनाता है, जो x मानों के एक क्रम पर परिकलित होता है। आप कोटि, x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (step) और कितनी पंक्तियाँ चाहिए — ये दर्ज करते हैं; कैलकुलेटर \(x_{i} = \text{start} + i \cdot \text{step}\) की सूची बनाता है और हर बिंदु पर \(I_{v}(x_{i})\) की गणना करके टेबल और ग्राफ दोनों देता है। यह शुद्ध गणित का विशेष-फलन टूल है और हर जगह समान रूप से लागू होता है (इसमें कोई क्षेत्रीय नियम या इकाइयाँ नहीं हैं)।
सूत्र
सुधारित बेसेल फलन \(I_{v}(x)\) सुधारित बेसेल समीकरण \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2) y = 0\) का हल है। इसे यहाँ इसकी घात-श्रेणी (power series) से परिकलित किया जाता है:
$$I_{v}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$क्रमगुणित (factorial) और गामा फलन की वजह से v कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। संख्यात्मक स्थिरता के लिए हर पद को log स्पेस में, \(\ln \Gamma\) के Lanczos सन्निकटन का उपयोग करके परिकलित किया जाता है, और तब तक जोड़ा जाता है जब तक पद नगण्य न हो जाएँ।
इसका उपयोग कैसे करें
कोटि v (जैसे 0, 1, या 2.5), x का प्रारंभिक मान, हर पंक्ति में x में जुड़ने वाली वृद्धि, और पंक्तियों की संख्या दर्ज करें। गणना करें पर क्लिक करते ही आपको x और \(I_{v}(x)\) की दो-स्तंभ वाली टेबल और उसी रेंज पर एक ग्राफ मिल जाएगा।
हल किया हुआ उदाहरण
v = 0, start = 0, step = 0.5, count = 5 लेने पर आपको x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2 मिलते हैं और:
$$I_{0}(0) = 1,\quad I_{0}(0.5) \approx 1.0634834,\quad I_{0}(1) \approx 1.2660658,\quad I_{0}(1.5) \approx 1.6467232,\quad I_{0}(2) \approx 2.2795853$$ये मान मानक संदर्भ टेबलों से मेल खाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या कोटि ऋणात्मक या अपूर्णांक हो सकती है? हाँ। ऋणात्मक पूर्णांक कोटि के लिए सर्वसमिका \(I_{-n}(x) = I_{n}(x)\) का उपयोग होता है। अपूर्णांक v के लिए \(x \geq 0\) समर्थित है; जबकि \(x < 0\) और अपूर्णांक v होने पर मान सम्मिश्र (complex) होता है, इसलिए NaN लौटाया जाता है।
\(I_{v}(x)\) इतनी तेज़ी से क्यों बढ़ता है? साधारण बेसेल फलन \(J_{v}\) की तरह दोलन करने के बजाय, सुधारित फलन बड़े x के लिए लगभग \(e^{x}/\sqrt{2\pi x}\) की दर से बढ़ता है, इसलिए बहुत बड़े x पर मान अनंत (infinity) तक overflow हो सकता है।
\(I_{v}(0)\) कितना होता है? \(I_{0}(0) = 1\), और v > 0 के लिए \(I_{v}(0) = 0\)।
