Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(I_{v}(x)\) ile gösterilen birinci tür değiştirilmiş Bessel fonksiyonunu sabit bir reel \(v\) mertebesi için bir \(x\) değer dizisi boyunca tablo hâline getirir. Mertebeyi, başlangıç \(x\) değerini, artış miktarını (adımı) ve kaç satır üretileceğini girersiniz; hesaplayıcı \(x_{i} = \text{başlangıç} + i\cdot\text{adım}\) listesini oluşturur ve her noktada \(I_{v}(x_{i})\) değerini hesaplayarak hem bir tablo hem de bir grafik döndürür. Tamamen matematiksel bir özel fonksiyon aracıdır ve evrensel olarak geçerlidir (bölgesel kural ya da birim içermez).
Formül
Değiştirilmiş Bessel fonksiyonu \(I_{v}(x)\), \(x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + v^{2})y = 0\) değiştirilmiş Bessel denkleminin çözümüdür. Burada kuvvet serisi üzerinden hesaplanır:
$$I_{v}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$Faktöriyel ve Gama fonksiyonu sayesinde \(v\) herhangi bir reel sayı olabilir. Sayısal kararlılık için her terim, \(\ln\Gamma\)'nın Lanczos yaklaşımıyla logaritmik uzayda değerlendirilir ve terimler ihmal edilebilir hâle gelene kadar toplanır.
Nasıl kullanılır?
v mertebesini (örneğin 0, 1 veya 2,5), x'in başlangıç değerini, her satırda \(x\)'e eklenecek artış miktarını ve tekrar sayısını (satır sayısı) girin. Hesapla'ya tıklayarak \(x\) ve \(I_{v}(x)\) sütunlarından oluşan iki sütunlu bir tabloyla birlikte aynı aralık üzerindeki grafiği elde edersiniz.
Çözümlü örnek
\(v = 0\), başlangıç \(= 0\), adım \(= 0{,}5\), sayı \(= 5\) için \(x = 0,\ 0{,}5,\ 1,\ 1{,}5,\ 2\) elde edersiniz ve:
$$I_{0}(0) = 1,\quad I_{0}(0{,}5) \approx 1{,}0634834,\quad I_{0}(1) \approx 1{,}2660658,\quad I_{0}(1{,}5) \approx 1{,}6467232,\quad I_{0}(2) \approx 2{,}2795853$$Bu değerler standart referans tablolarıyla örtüşür.
Sıkça sorulan sorular
Mertebe negatif veya tam sayı olmayan bir değer olabilir mi? Evet. Negatif tam sayı mertebeler için \(I_{-n}(x) = I_{n}(x)\) özdeşliği kullanılır. Tam sayı olmayan \(v\) değerleri \(x \geq 0\) için desteklenir; tam sayı olmayan \(v\) ile \(x < 0\) durumunda sonuç karmaşık (kompleks) olur, bu nedenle NaN döndürülür.
\(I_{v}(x)\) neden bu kadar hızlı büyür? Salınım yapan sıradan Bessel fonksiyonu \(J_{v}\)'nin aksine, değiştirilmiş fonksiyon büyük \(x\) için kabaca \(e^{x}/\sqrt{2\pi x}\) gibi büyür; bu yüzden büyük \(x\) değerleri sonsuza taşabilir (overflow).
\(I_{v}(0)\) kaçtır? \(I_{0}(0) = 1\) olup, \(v > 0\) için \(I_{v}(0) = 0\)'dır.
