ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُنشئ هذه الأداة جدولاً لقيم دالة بيسل المعدّلة من النوع الأول، التي تُكتب \(I_{v}(x)\)، عند رتبة حقيقية ثابتة \(v\) عبر متتالية من قيم \(x\). كل ما عليك هو إدخال الرتبة، وقيمة \(x\) الابتدائية، ومقدار الزيادة (الخطوة)، وعدد الصفوف المطلوب توليدها؛ عندها تبني الحاسبة القائمة \(x_{i} = \text{البداية} + i\times\text{الخطوة}\)، وتحسب \(I_{v}(x_{i})\) عند كل نقطة، لتعرض لك جدولاً ورسماً بيانياً معاً. وهي أداة رياضية بحتة خاصة بالدوال الخاصة، تنطبق عالمياً دون أي قواعد محلية أو وحدات قياس مرتبطة ببلد معيّن.
الصيغة الرياضية
دالة بيسل المعدّلة \(I_{v}(x)\) هي حلّ لمعادلة بيسل المعدّلة \(x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + v^{2})y = 0\). ونحسبها هنا انطلاقاً من متسلسلتها القوّية:
$$I_{v}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$وجود العاملي (المضروب) ودالة غاما يسمح بأن تكون \(v\) أي عدد حقيقي. ولضمان الاستقرار العددي، يُحسب كل حدّ في الفضاء اللوغاريتمي باستخدام تقريب لانكزوس للوغاريتم دالة غاما \(\ln \Gamma\)، ثم تُجمع الحدود حتى تصبح مهملة الأثر.
طريقة الاستخدام
أدخل الرتبة \(v\) (مثل 0 أو 1 أو 2.5)، والقيمة الابتدائية لـ \(x\)، ومقدار الزيادة الذي يُضاف إلى \(x\) في كل صف، وعدد التكرارات (الصفوف). ثم اضغط على «احسب» للحصول على جدول من عمودين يضمّ \(x\) و\(I_{v}(x)\)، إضافةً إلى رسم بياني على المدى نفسه.
مثال محلول
عند \(v = 0\)، والبداية \(= 0\)، والخطوة \(= 0.5\)، والعدد \(= 5\)، تحصل على \(x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2\) والقيم التالية:
$$I_{0}(0) = 1,\quad I_{0}(0.5) \approx 1.0634834,\quad I_{0}(1) \approx 1.2660658,\quad I_{0}(1.5) \approx 1.6467232,\quad I_{0}(2) \approx 2.2795853$$وهذه القيم مطابقة لجداول المراجع القياسية.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون الرتبة سالبة أو غير صحيحة؟ نعم. في حالة الرتبة الصحيحة السالبة تُستخدم المتطابقة \(I_{-n}(x) = I_{n}(x)\). أمّا الرتبة غير الصحيحة فمدعومة عند \(x \geq 0\)؛ وعند \(x < 0\) مع رتبة غير صحيحة تكون القيمة عقدية، فتُرجَع النتيجة على هيئة NaN (قيمة غير معرّفة).
لماذا تنمو \(I_{v}(x)\) بهذه السرعة؟ على عكس دالة بيسل العادية \(J_{v}\) المتذبذبة، تنمو الدالة المعدّلة تقريباً مثل \(e^{x}/\sqrt{2\pi x}\) من أجل قيم \(x\) الكبيرة، لذا قد تتجاوز قيم \(x\) الكبيرة الحدّ الأقصى وتصل إلى ما لا نهاية (overflow).
ما قيمة \(I_{v}(0)\)؟ \(I_{0}(0) = 1\)، بينما \(I_{v}(0) = 0\) من أجل \(v > 0\).
