ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُنشئ هذه الأداة جدولاً ورسماً بيانياً لدالة بيسل الكروية المعدّلة من النوع الأول، \(i_v(x)\)، عند رتبة ثابتة \(v\) على سلسلة من قيم \(x\). تبدأ من قيمة \(x\) الأولية، ثم تضيف خطوة ثابتة عدداً محدّداً من المرّات، فتتولّد صفوف على الصورة \(x_k = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\) حيث \(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\)، وتحسب \(i_v(x_k)\) لكل صف منها.
شرح الصيغة الرياضية
تُعرَّف دالة بيسل الكروية المعدّلة عبر دالة بيسل (الأسطوانية) المعدّلة من النوع الأول \(I\) بالعلاقة $$i_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x).$$ وبالنسبة للرتب الصحيحة غير السالبة المنخفضة توجد صيغ مغلقة مريحة بدلالة الدوال الزائدية: \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\)، و \(i_1(x) = \frac{x \cosh x - \sinh x}{x^2}\)، و \(i_2(x) = \frac{(x^2+3) \sinh x - 3x \cosh x}{x^3}\). أما الرتب الصحيحة الأعلى فتتبع علاقة التكرار $$i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x} i_n(x).$$ وبالنسبة للرتب الحقيقية العامة \(v\) تحسب الأداة \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) من متسلسلتها الأُسّية باستخدام دالة غاما.
طريقة الاستخدام
أدخِل الرتبة \(v\) (مثلاً 0 أو 1 أو رتبة نصف صحيحة مثل 0.5)، وقيمة \(x\) الأولية، ومقدار الزيادة، وعدد الصفوف المطلوبة. تُظهر النتيجة جدولاً من عمودين يضمّ \(x\) و \(i_v(x)\)؛ مع إبراز القيمة الأولى في الأعلى. استخدم خطوة صغيرة مثل 0.1 للحصول على منحنى ناعم.
مثال محلول
عند \(v = 0\)، و \(\text{initialX} = 0\)، و \(\text{stepX} = 0.1\)، و \(\text{loopCount} = 51\)، تُستخدم الدالة \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\). يعطي الصف الأول عند \(x = 0\) القيمة الحدّية 1. وعند \(x = 1\) يكون $$\frac{\sinh(1)}{1} = 1.17520119.$$ وعند \(x = 5\) (الصف الأخير) يكون $$\frac{\sinh(5)}{5} = 14.84064212,$$ فيرتفع المنحنى بسلاسة من 1 إلى نحو 14.84.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند \(x = 0\)؟ تكون الصيغة \(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\) شاذّة عند هذه النقطة، لذا تُرجِع الحاسبة القيمة الحدّية: \(i_0(0) = 1\) و \(i_v(0) = 0\) عندما \(v > 0\).
هل يمكن أن تكون الرتبة نصف صحيحة؟ نعم. يُسمح بأي رتبة حقيقية؛ وتُحسب الرتب غير الصحيحة عبر المتسلسلة الخاصة بـ \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\).
هل يمكن أن تكون \(x\) سالبة؟ الصيغ المغلقة ذات الرتب الصحيحة معرّفة عند قيم \(x\) السالبة، لكن فرع الرتبة العامة مقيّد بـ \(x \geq 0\) لأن الجذر التربيعي على الفرع الرئيسي لوسيط سالب سيكون عدداً مركّباً.
