이 계산기의 기능
이 도구는 고정된 차수 \(v\)에 대해 제1종 변형 구면 베셀 함수 \(i_v(x)\)를 일련의 \(x\) 값에서 계산하여 표와 그래프로 나타냅니다. 시작값 \(x\)에서 출발해 지정한 횟수만큼 일정한 간격을 더해 가며 \(x_k = \text{initialX} + k\cdot\text{stepX}\) (\(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\)) 형태의 행을 만들고, 각 \(x_k\)에서 \(i_v(x_k)\)를 계산합니다.
수식 설명
변형 구면 베셀 함수는 제1종 (원통형) 변형 베셀 함수 \(I\)를 통해 다음과 같이 정의됩니다.
$$i_{v}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x)$$차수가 낮은 음이 아닌 정수일 때는 다음과 같이 편리한 쌍곡선 형태로 닫힌식이 존재합니다. \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\), \(i_1(x) = \frac{x\cosh x - \sinh x}{x^2}\), \(i_2(x) = \frac{(x^2+3)\sinh x - 3x\cosh x}{x^3}\). 더 높은 정수 차수는 점화식 \(i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x} i_n(x)\)를 따릅니다. 일반적인 실수 차수 \(v\)의 경우, 계산기는 감마 함수를 이용한 멱급수로 \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\)를 계산합니다.
사용 방법
차수 \(v\)(예: 0, 1, 또는 0.5 같은 반정수), 시작 \(x\) 값, 증가 간격, 그리고 원하는 행 수를 입력하세요. 결과로는 \(x\)와 \(i_v(x)\) 두 열로 이루어진 표가 표시되며, 첫 번째 값이 맨 위에 강조됩니다. 0.1 정도의 작은 간격을 사용하면 매끄러운 곡선을 얻을 수 있습니다.
계산 예시
\(v = 0\), \(\text{initialX} = 0\), \(\text{stepX} = 0.1\), \(\text{loopCount} = 51\)로 설정하면 \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\) 함수가 사용됩니다. \(x = 0\)인 첫 번째 행에서는 극한값 1이 나옵니다. \(x = 1\)에서는 $$\frac{\sinh(1)}{1} = 1.17520119$$이고, 마지막 행인 \(x = 5\)에서는 $$\frac{\sinh(5)}{5} = 14.84064212$$가 됩니다. 따라서 곡선은 1에서 약 14.84까지 매끄럽게 상승합니다.
자주 묻는 질문
\(x = 0\)에서는 어떻게 되나요? \(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\) 형태는 이 지점에서 특이점을 가지므로, 계산기는 극한값을 반환합니다. 즉, \(i_0(0) = 1\)이고 \(v > 0\)일 때는 \(i_v(0) = 0\)입니다.
차수를 반정수로 둘 수 있나요? 가능합니다. 임의의 실수 차수를 사용할 수 있으며, 정수가 아닌 차수는 \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\)의 급수로 계산됩니다.
\(x\)가 음수여도 되나요? 정수 차수의 닫힌식은 음수 \(x\)에 대해서도 정의되지만, 일반 차수 계산 경로는 \(x \geq 0\)으로 제한됩니다. 음수 인수의 주분지(principal-branch) 제곱근은 복소수가 되기 때문입니다.
