완전제곱식 계산기

계산 입력

첫 번째 항 (a)

연산 더하기 (a + b) 빼기 (a − b)

두 번째 항 (b)

결과

완전제곱식 결과

25

전개한 값

a²	9
2ab 항	12
b²	4

완전제곱식이란?

이항식(binomial)이란 a + b처럼 두 개의 항으로 이루어진 대수식을 말합니다. 이를 '제곱한다'는 것은 식을 자기 자신과 곱하는 것, 즉 \((a + b)^2\)을 의미합니다. 대표적인 곱셈 공식 두 가지는 $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ 과 $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ 입니다. 이 계산기는 두 형태 모두를 수치로 전개해 주며, 각 항을 따로 보여 주기 때문에 풀이 과정을 단계별로 직접 검산해 볼 수 있습니다.

\((a+b)^2\)의 기하학적 의미: 큰 정사각형이 \(a^2\), 두 개의 \(ab\) 직사각형, \(b^2\)로 나뉜다.

계산기 사용 방법

먼저 첫 번째 항 a의 값을 입력하고, 이항식에 더하기와 빼기 중 어떤 부호를 쓸지 선택한 뒤, 두 번째 항 b를 입력하세요. 계산기는 전개한 전체 값과 함께 세 가지 구성 요소를 보여 줍니다. \(a^2\), 가운데 항 \(2ab\)(합일 때는 양수, 차일 때는 음수), 그리고 \(b^2\)입니다. 소수와 음수도 모두 입력할 수 있습니다.

공식 풀이

분배법칙(FOIL)을 이용해 \((a + b)(a + b)\)를 곱하면 $$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$$ 가 됩니다. 가운데에 나오는 \(ab\)와 \(ba\)가 합쳐져 \(2ab\)가 되는 것이죠. 차의 경우에는 \((a - b)(a - b)\)에서 \(-ab - ba = -2ab\) 가 나오므로 가운데 항의 부호가 바뀌어 \(a^2 - 2ab + b^2\) 가 됩니다. 여기서 첫째 항과 마지막 항은 항상 제곱이므로 언제나 양수라는 점을 기억하세요.

전개식의 각 항을 그 출처에 대응: \(a^2\), 가운데 \(2ab\) 항, \(b^2\).

예제 풀이

\((3 + 2)^2\)을 전개해 봅시다. 여기서 \(a = 3\), \(b = 2\)입니다. \(a^2 = 9\), 가운데 항 \(2ab = 2 \times 3 \times 2 = 12\), \(b^2 = 4\)를 구합니다. 이를 모두 더하면 $$9 + 12 + 4 = 25$$ 이고, 이는 \((3 + 2)^2 = 5^2 = 25\) 와 정확히 일치합니다. \((5 - 3)^2\)의 경우에는 \(a^2 = 25\), \(-2ab = -30\), \(b^2 = 9\) 이므로 $$25 - 30 + 9 = 4 = 2^2$$ 이 됩니다.

자주 묻는 질문

음수도 사용할 수 있나요? 네. \(a\)나 \(b\)에 음수를 입력해도 공식은 그대로 정확하게 적용됩니다.

가운데 항이 음수가 되는 이유는 무엇인가요? \((a - b)^2\)에서는 \(-2ab\)가 나오기 때문입니다. '빼기' 연산을 선택하면 가운데 항의 부호가 음수로 바뀝니다.

소수도 입력할 수 있나요? 네, 두 항 모두 어떤 소수 값이든 입력할 수 있습니다.