완전제곱식이란?
완전제곱식(completing the square)은 이차식 \(ax^2 + bx + c\)를 완전제곱항과 상수의 합 형태로 다시 쓰는 대수적 기법입니다. 이렇게 변형하면 방정식의 해를 쉽게 읽어낼 수 있고, 포물선의 꼭짓점도 바로 구할 수 있습니다. 이 계산기는 \(a \neq 0\)인 모든 이차방정식에 이 방법을 적용해 실근, 판별식, 꼭짓점을 알려줍니다.
사용 방법
방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)에서 세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 계산기는 판별식 \(b^2 - 4ac\)를 구합니다. 이 값이 0이거나 양수이면 두 실근이 표시됩니다(판별식이 0이면 두 근이 일치합니다). 음수이면 실수 해가 없으며, 근은 복소수가 됩니다.
공식 풀이
\(ax^2 + bx + c = 0\)에서 출발해 양변을 \(a\)로 나누고 상수항을 옮기면 \(x^2 + (b/a)x = -c/a\)가 됩니다. 양변에 \((b/2a)^2\)을 더해 완전제곱식을 만들면 \((x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)\)이 됩니다. 제곱근을 취하고 \(x\)에 대해 정리하면
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$즉 우리에게 익숙한 근의 공식이 나옵니다. 꼭짓점은 \(x = -b/(2a)\)에 위치합니다.
예제 풀이
\(x^2 - 6x + 5 = 0\)의 경우 \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)입니다. 판별식은 \((-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\)입니다. 그러면
$$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$이므로 \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\)이 됩니다. 꼭짓점은 \(x = 3\), \(y = 9 - 18 + 5 = -4\)입니다.
자주 묻는 질문
판별식이 음수이면 어떻게 되나요? 포물선이 x축과 만나지 않으므로 실근이 없습니다. 이때 해는 복소수입니다.
왜 a는 0이 아니어야 하나요? \(a = 0\)이면 방정식이 이차식이 아니라 일차식이 되어 완전제곱식 방법을 적용할 수 없습니다.
꼭짓점은 무엇을 알려주나요? \(a > 0\)일 때는 포물선의 가장 낮은 점(최솟값), \(a < 0\)일 때는 가장 높은 점(최댓값)을 나타냅니다.
