계산 입력

공식

Show calculation steps (1)

Vertex (Completed Square Form)

Vertex of the parabola; h is the axis of symmetry and k is the minimum or maximum value.

결과

해 (실근)

x₁ = 5
x₂ = 1

완전제곱식으로 구한 결과

판별식 (b² − 4ac)	16
꼭짓점 x = −b/(2a)	3
꼭짓점 y (최솟값/최댓값)	-4

완전제곱식이란?

완전제곱식(completing the square)은 이차식 $ax^2 + bx + c$를 완전제곱항과 상수의 합 형태로 다시 쓰는 대수적 기법입니다. 이렇게 변형하면 방정식의 해를 쉽게 읽어낼 수 있고, 포물선의 꼭짓점도 바로 구할 수 있습니다. 이 계산기는 $a \neq 0$인 모든 이차방정식에 이 방법을 적용해 실근, 판별식, 꼭짓점을 알려줍니다.

x²에 bx를 더한 것을 모서리가 살짝 비어 있는 거의 정사각형 모양으로 배열한 기하학적 넓이 모델 — 넓이로 보는 완전제곱: 작은 모서리 정사각형을 더하면 큰 정사각형이 완성된다.

사용 방법

방정식 $ax^2 + bx + c = 0$에서 세 계수 $a$, $b$, $c$를 입력하세요. 계산기는 판별식 $b^2 - 4ac$를 구합니다. 이 값이 0이거나 양수이면 두 실근이 표시됩니다(판별식이 0이면 두 근이 일치합니다). 음수이면 실수 해가 없으며, 근은 복소수가 됩니다.

공식 풀이

$ax^2 + bx + c = 0$에서 출발해 양변을 $a$로 나누고 상수항을 옮기면 $x^2 + (b/a)x = -c/a$가 됩니다. 양변에 $(b/2a)^2$을 더해 완전제곱식을 만들면 $(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)$이 됩니다. 제곱근을 취하고 $x$에 대해 정리하면

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

즉 우리에게 익숙한 근의 공식이 나옵니다. 꼭짓점은 $x = -b/(2a)$에 위치합니다.

좌표축 위에 위로 열린 포물선과 꼭짓점, 대칭축, 두 x절편 근을 표시한 그림 — 포물선 y = ax² + bx + c: 꼭짓점, 대칭축, 두 실근을 표시.

예제 풀이

$x^2 - 6x + 5 = 0$의 경우 $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$입니다. 판별식은 $(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$입니다. 그러면

$$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$

이므로 $x_1 = 5$, $x_2 = 1$이 됩니다. 꼭짓점은 $x = 3$, $y = 9 - 18 + 5 = -4$입니다.

자주 묻는 질문

판별식이 음수이면 어떻게 되나요? 포물선이 x축과 만나지 않으므로 실근이 없습니다. 이때 해는 복소수입니다.

왜 a는 0이 아니어야 하나요? $a = 0$이면 방정식이 이차식이 아니라 일차식이 되어 완전제곱식 방법을 적용할 수 없습니다.

꼭짓점은 무엇을 알려주나요? $a > 0$일 때는 포물선의 가장 낮은 점(최솟값), $a < 0$일 때는 가장 높은 점(최댓값)을 나타냅니다.

완전제곱식 계산기