Hoàn thành bình phương là gì?
Hoàn thành bình phương là một kỹ thuật đại số biến đổi biểu thức bậc hai \(ax^2 + bx + c\) thành một bình phương đầy đủ cộng với một hằng số. Dạng này giúp ta dễ dàng "đọc" ra nghiệm của phương trình cũng như xác định tọa độ đỉnh của parabol. Công cụ này áp dụng phương pháp đó cho mọi phương trình bậc hai với \(a \neq 0\) và trả về nghiệm thực, biệt thức delta và tọa độ đỉnh.
Cách sử dụng
Nhập ba hệ số a, b và c từ phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) của bạn. Máy tính sẽ tính biệt thức delta \(b^2 - 4ac\). Nếu delta bằng 0 hoặc dương, công cụ hiển thị hai nghiệm thực (hai nghiệm trùng nhau khi delta bằng 0). Nếu delta âm, phương trình vô nghiệm thực và các nghiệm là số phức.
Công thức được giải thích
Xuất phát từ \(ax^2 + bx + c = 0\), ta chia hai vế cho a rồi chuyển hằng số sang vế phải: \(x^2 + (b/a)x = -c/a\). Cộng thêm \((b/2a)^2\) vào hai vế để hoàn thành bình phương, ta được \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\). Lấy căn bậc hai và cô lập x, ta thu được
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$— chính là công thức nghiệm quen thuộc của phương trình bậc hai. Đỉnh của parabol nằm tại \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Ví dụ minh họa
Với phương trình \(x^2 - 6x + 5 = 0\), ta có \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Biệt thức delta là \((-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\). Khi đó
$$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$cho ra \(x_1 = 5\) và \(x_2 = 1\). Đỉnh nằm tại \(x = 3\), \(y = 9 - 18 + 5 = -4\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu delta âm thì sao? Parabol không cắt trục hoành nên phương trình không có nghiệm thực; lúc này các nghiệm là số phức.
Vì sao a phải khác 0? Nếu \(a = 0\) thì phương trình trở thành bậc nhất chứ không còn là bậc hai, và phương pháp hoàn thành bình phương không áp dụng được.
Tọa độ đỉnh cho ta biết điều gì? Đó là điểm thấp nhất của parabol khi \(a > 0\) (giá trị cực tiểu) hoặc điểm cao nhất khi \(a < 0\) (giá trị cực đại).
