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Fórmula

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Vertex (Completed Square Form)

Vertex of the parabola; h is the axis of symmetry and k is the minimum or maximum value.

Resultados

Soluciones (raíces reales)

x₁ = 5
x₂ = 1

obtenidas completando el cuadrado

Discriminante (b² − 4ac)	16
Vértice x = −b/(2a)	3
Vértice y (mínimo/máximo)	-4

¿Qué es completar el cuadrado?

Completar el cuadrado es una técnica algebraica que reescribe una expresión cuadrática $ax^2 + bx + c$ como un cuadrado perfecto más una constante. Esta forma permite leer de un vistazo las soluciones de la ecuación y localizar el vértice de su parábola. Esta calculadora aplica el método a cualquier cuadrática con $a \neq 0$ y te muestra las raíces reales, el discriminante y el vértice.

Modelo de área geométrica que muestra x al cuadrado más bx reorganizado en un casi cuadrado al que le falta una pequeña esquina — Completar el cuadrado como área geométrica: al añadir el pequeño cuadrado de la esquina se completa el cuadrado mayor.

Cómo usarla

Introduce los tres coeficientes $a$, $b$ y $c$ de tu ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. La calculadora calcula el discriminante $b^2 - 4ac$. Si es cero o positivo, aparecen dos raíces reales (que coinciden cuando el discriminante vale cero). Si es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales y las raíces son complejas.

La fórmula explicada

Partimos de $ax^2 + bx + c = 0$, dividimos entre $a$ y pasamos la constante al otro lado: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$. Sumamos $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ en ambos lados para completar el cuadrado, lo que da $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$. Al extraer la raíz cuadrada y despejar $x$ obtenemos $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$ la conocida fórmula general. El vértice se encuentra en $x = -\frac{b}{2a}$.

Parábola hacia arriba sobre ejes coordenados con el vértice, el eje de simetría y las dos raíces marcadas en el eje x — La parábola $y = ax^2 + bx + c$ con su vértice, eje de simetría y las dos raíces reales.

Ejemplo resuelto

Para $x^2 - 6x + 5 = 0$, tenemos $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. El discriminante es $$(-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 36 - 20 = 16.$$ Entonces $$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2,$$ lo que da $x_1 = 5$ y $x_2 = 1$. El vértice está en $x = 3$, $y = 9 - 18 + 5 = -4$.

Preguntas frecuentes

¿Y si el discriminante es negativo? La parábola nunca corta el eje x, así que no hay raíces reales; las soluciones son números complejos.

¿Por qué a tiene que ser distinto de cero? Si $a = 0$ la ecuación es lineal, no cuadrática, y no se puede completar el cuadrado.

¿Qué me indica el vértice? Es el punto más bajo de la parábola cuando $a > 0$ (un mínimo) o el más alto cuando $a < 0$ (un máximo).

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