Qu'est-ce que la complétion du carré ?
La complétion du carré (ou mise sous forme canonique) est une technique algébrique qui réécrit un trinôme du second degré \(ax^2 + bx + c\) sous la forme d'un carré parfait augmenté d'une constante. Cette écriture permet de lire facilement les solutions de l'équation et de déterminer le sommet de la parabole. Ce calculateur applique la méthode à n'importe quelle équation du second degré avec \(a \neq 0\), et affiche les racines réelles, le discriminant et le sommet.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients a, b et c de votre équation \(ax^2 + bx + c = 0\). Le calculateur calcule le discriminant \(b^2 - 4ac\). S'il est nul ou positif, deux racines réelles s'affichent (elles sont confondues lorsque le discriminant est nul). S'il est négatif, l'équation n'a pas de solution réelle et les racines sont complexes.
La formule expliquée
À partir de \(ax^2 + bx + c = 0\), on divise par a et l'on isole la constante : \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\). On ajoute \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) aux deux membres pour compléter le carré, ce qui donne \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\). En prenant la racine carrée et en isolant x, on obtient
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$la célèbre formule de résolution du second degré. Le sommet de la parabole se situe en \(x = -\frac{b}{2a}\).
Exemple résolu
Pour \(x^2 - 6x + 5 = 0\), on a \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Le discriminant vaut
$$(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$On obtient alors
$$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$soit \(x_1 = 5\) et \(x_2 = 1\). Le sommet est situé en \(x = 3\), \(y = 9 - 18 + 5 = -4\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ? La parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses : il n'y a donc pas de racine réelle et les solutions sont des nombres complexes.
Pourquoi a doit-il être non nul ? Si \(a = 0\), l'équation est du premier degré (linéaire), et non du second degré : la complétion du carré ne s'applique pas.
Que m'indique le sommet ? C'est le point le plus bas de la parabole lorsque \(a > 0\) (un minimum), ou le point le plus haut lorsque \(a < 0\) (un maximum).
