Kareye Tamamlama Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a katsayısı

b katsayısı

c katsayısı

a·x² + b·x + c = 0 ikinci dereceden denklemi için (a ≠ 0).

Formül

Show calculation steps (1)

1. Vertex (Completed Square Form)

   

   Vertex of the parabola; h is the axis of symmetry and k is the minimum or maximum value.

Sonuç

Çözümler (gerçek kökler)

x₁ = 5
x₂ = 1

kareye tamamlama yöntemiyle bulundu

Diskriminant (b² − 4ac)	16
Tepe noktası x = −b/(2a)	3
Tepe noktası y (minimum/maksimum)	-4

Kareye tamamlama nedir?

Kareye tamamlama, \(ax^{2} + bx + c\) biçimindeki ikinci dereceden bir ifadeyi tam kare bir terim ile bir sabitin toplamı şeklinde yeniden yazan cebirsel bir yöntemdir. Bu biçim, denklemin çözümlerini doğrudan görmeyi ve parabolün tepe noktasını bulmayı kolaylaştırır. Bu araç, \(a \neq 0\) olan her ikinci dereceden denkleme yöntemi uygular ve gerçek kökleri, diskriminantı ve tepe noktasını verir.

Geometrik alan olarak kareye tamamlama: küçük köşe karesini eklemek büyük kareyi tamamlar.

Nasıl kullanılır?

\(ax^{2} + bx + c = 0\) denkleminizdeki \(a\), \(b\) ve \(c\) katsayılarını girin. Hesaplayıcı \(b^{2} - 4ac\) diskriminantını hesaplar. Diskriminant sıfır ya da pozitifse iki gerçek kök gösterilir (diskriminant sıfır olduğunda bu iki kök çakışır). Negatifse denklemin gerçek çözümü yoktur ve kökler karmaşık sayılardır.

Formülün açıklaması

\(ax^{2} + bx + c = 0\) denkleminden başlayarak her iki tarafı \(a\)'ya bölün ve sabiti karşıya alın: \(x^{2} + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\). Kareyi tamamlamak için her iki tarafa \(\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\) ekleyin; böylece $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}$$ elde edilir. Karekökü alıp \(x\)'i yalnız bıraktığınızda $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ sonucuna, yani bildiğimiz ikinci dereceden denklem formülüne ulaşırsınız. Tepe noktası ise \(x = -\frac{b}{2a}\) konumundadır.

Reklam

\(y = ax^{2} + bx + c\) parabolü: tepe noktası, simetri ekseni ve iki gerçek kökü gösterir.

Çözümlü örnek

\(x^{2} - 6x + 5 = 0\) için \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\) olur. Diskriminant $$(-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$'dır. Buradan $$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$ bulunur; yani \(x_{1} = 5\) ve \(x_{2} = 1\). Tepe noktası ise \(x = 3\), \(y = 9 - 18 + 5 = -4\) konumundadır.

Sıkça sorulan sorular

Diskriminant negatifse ne olur? Parabol \(x\) eksenini hiç kesmez, dolayısıyla gerçek kök bulunmaz; çözümler karmaşık sayılardır.

\(a\) neden sıfırdan farklı olmalı? \(a = 0\) olursa denklem ikinci dereceden değil, birinci dereceden (doğrusal) olur ve kareye tamamlama yöntemi uygulanamaz.

Tepe noktası bana neyi söyler? \(a > 0\) olduğunda parabolün en alçak noktasıdır (minimum), \(a < 0\) olduğunda ise en yüksek noktasıdır (maksimum).