Bu Hesaplama Aracı Ne İşe Yarar?
Bu araç, genel formda yazılmış \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) çember denklemini standart forma, yani \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) biçimine dönüştürür. Bunu hem x hem de y terimlerinde kareyi tamamlayarak yapar; ardından çemberin merkezini \((h, k)\) ve yarıçapını \(r\) olarak verir. D, E ve F olmak üzere üç katsayıyı girmeniz yeterli; sonuç anında ekrana gelir.
Nasıl Kullanılır?
Denkleminizi \(x^2 + y^2 + \text{D}x + \text{E}y + \text{F} = 0\) kalıbıyla eşleştirin. x'in önündeki katsayı D, y'nin önündeki katsayı E, tek başına duran sabit ise F'dir. İşaretler önemlidir: \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) denkleminde \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\) ve \(\text{F} = 9\) olur. Eğer denkleminizde x² ve y² terimlerinin de katsayısı varsa (örneğin \(2x^2 + 2y^2 + \ldots\)), önce tüm denklemi bu sayıya bölün; böylece kareli terimlerin katsayısı 1 olur.
Formülün Açıklaması
\(x^2 + \text{D}x\) ifadesinde kareyi tamamlamak için \(\left(\dfrac{\text{D}}{2}\right)^2\) ekleyip çıkarırız; aynı şekilde y terimleri için de \(\left(\dfrac{\text{E}}{2}\right)^2\) kullanırız. Sabitleri eşitliğin sağ tarafına attığımızda $$\left(x + \frac{\text{D}}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\text{E}}{2}\right)^2 = \frac{\text{D}^2}{4} + \frac{\text{E}^2}{4} - \text{F}$$ elde edilir. Buna göre merkez \(\left(-\dfrac{\text{D}}{2}, -\dfrac{\text{E}}{2}\right)\), yarıçap ise sağ tarafın kareköküdür. Bu değer negatifse gerçek bir çember yoktur; sıfır ise denklem tek bir noktayı temsil eder.
Çözümlü Örnek
\(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\) denklemini ele alalım; burada \(\text{D} = -6\), \(\text{E} = 8\), \(\text{F} = 9\)'dur. Merkez \(= \left(-\dfrac{-6}{2}, -\dfrac{8}{2}\right) = (3, -4)\). $$r^2 = \frac{36}{4} + \frac{64}{4} - 9 = 9 + 16 - 9 = 16$$ olduğundan \(r = 4\) bulunur. Yani çemberin merkezi \((3, -4)\), yarıçapı ise 4'tür.
Sık Sorulan Sorular
Yarıçap sanal çıkarsa ne olur? \(\dfrac{\text{D}^2}{4} + \dfrac{\text{E}^2}{4} - \text{F}\) değeri negatifse denklemin gerçek bir çözümü yoktur ve ortada gerçek bir çember bulunmaz.
Merkez orijinde olabilir mi? Evet — \(\text{D} = 0\) ve \(\text{E} = 0\) olduğunda merkez \((0, 0)\) olur ve \(r = \sqrt{-\text{F}}\) şeklinde hesaplanır.
Neden önce baş katsayıya bölüyoruz? Formüller, x² ve y² katsayılarının ikisinin de 1 olduğunu varsayar; genel formdaki bir çemberi çember yapan temel özellik de zaten budur.
