Pearson korelasyon katsayısı nedir?
r ile gösterilen Pearson korelasyon katsayısı, iki sayısal değişkenin doğrusal (düz çizgi şeklinde) bir ilişkide ne kadar güçlü birlikte hareket ettiğini ölçer. Değeri her zaman -1 ile +1 arasındadır. +1'e yakın bir değer, değişkenlerin birlikte arttığını; -1'e yakın bir değer, biri artarken diğerinin azaldığını; 0'a yakın bir değer ise aralarında çok az ya da hiç doğrusal ilişki olmadığını gösterir. Bu araç evrenseldir; her alandaki, eşleştirilmiş her türlü sayısal veriye uygulanabilir.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
X değerlerinizi ve Y değerlerinizi virgül ya da boşlukla ayırarak girin. Her X değeri, aynı sıradaki Y değeriyle eşleşmelidir; bu nedenle iki listede de aynı sayıda girdi bulunmalıdır. Hesapla düğmesine tıkladığınızda r değerinin yanı sıra belirlilik katsayısını (r²), en küçük kareler yöntemiyle bulunan regresyon eğimi ve kesişimini ve kovaryansı elde edersiniz.
Formülün açıklaması
Her veri noktası için x'in ortalamasından sapması \((x - \bar{x})\) ile y'nin ortalamasından sapması \((y - \bar{y})\) hesaplanır. Payda, bu sapmaların çarpımlarının toplamı yer alır. Paydada ise her değişkenin sapma karelerinin toplamının çarpımının karekökü bulunur. Bu bölme işlemi sonucu standartlaştırarak birimsiz hale getirir ve değeri -1 ile +1 arasında sınırlar.
$$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}} $$$$ \begin{gathered} r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i,\quad \bar{y} = \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. \end{gathered} $$
Çözümlü örnek
X = 1, 2, 3, 4, 5 ve Y = 2, 4, 5, 4, 5 olsun. Ortalamalar \(\bar{x} = 3\) ve \(\bar{y} = 4\)'tür. Çapraz çarpımların toplamı \(\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 6\), \(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\) ve \(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\)'dır. Buna göre $$ r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746 $$ olur; bu da oldukça güçlü ve pozitif bir doğrusal ilişkiye işaret eder.
Sıkça sorulan sorular
r² bana ne söyler? r²; r'nin karesidir ve Y'deki değişimin, X ile olan doğrusal ilişki tarafından açıklanan kısmını gösterir. 0,7746 değerindeki bir r, \(r^2 \approx 0{,}6\) verir; yani değişkenliğin yaklaşık %60'ı açıklanmaktadır.
Korelasyon nedenselliği kanıtlar mı? Hayır. Yüksek bir r değeri, iki değişkenin birlikte hareket ettiğini gösterir ama birinin diğerine neden olduğunu kanıtlamaz.
r tam olarak 0 ise ne olur? Doğrusal bir ilişki yoktur; ancak Pearson r'nin algılayamadığı doğrusal olmayan bir ilişki yine de var olabilir.
