ما هو معامل ارتباط بيرسون؟
معامل ارتباط بيرسون، ويُرمز إليه بالحرف r، يقيس مدى قوة تحرّك متغيّرين عدديين معًا وفق علاقة خطية (مستقيمة). وتتراوح قيمته دائمًا بين -1 و+1. فالقيمة القريبة من +1 تعني أن المتغيّرين يرتفعان معًا، والقريبة من -1 تعني أن أحدهما يرتفع بينما ينخفض الآخر، أما القيمة القريبة من الصفر فتشير إلى علاقة خطية ضعيفة أو منعدمة. هذه الأداة عامة وشاملة، فهي تصلح لأي بيانات عددية مزدوجة في أي مجال.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيم X وقيم Y مفصولةً بفواصل أو بمسافات. ويجب أن تقترن كل قيمة من X بالقيمة المقابلة لها من Y في الموضع نفسه، لذا ينبغي أن تحتوي القائمتان على العدد ذاته من المُدخلات. ثم اضغط على «احسب» لتحصل على قيمة \(r\)، إلى جانب معامل التحديد (\(r^2\))، ومَيل خط انحدار المربعات الصغرى والتقاطع، والتباين المشترك.
شرح المعادلة
لكل نقطة بيانات، نحسب انحراف x عن متوسّطه \((x - \bar{x})\) وانحراف y عن متوسّطه \((y - \bar{y})\). ويمثّل البسط مجموع حواصل ضرب هذين الانحرافين. أما المقام فهو الجذر التربيعي لحاصل ضرب مجموع مربّعات انحرافات كل متغيّر. وعملية القسمة هذه تُوحّد النتيجة فتجعلها مجرّدة من الوحدات ومحصورة بين -1 و+1.
$$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, \sum (y_i - \bar{y})^2}} $$
مثال تطبيقي
لنأخذ X = 1، 2، 3، 4، 5 وY = 2، 4، 5، 4، 5. يكون المتوسّطان \(\bar{x} = 3\) و\(\bar{y} = 4\). ومجموع حواصل الضرب المتقاطعة \(\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6\)، و\(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\)، و\(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\). ومن ثَمّ
$$ r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746 $$وهو ما يدلّ على علاقة خطية موجبة قوية نسبيًّا.
الأسئلة الشائعة
ماذا تخبرني قيمة r²؟ هي مربّع \(r\)، وتمثّل نسبة التباين في Y الذي تفسّره العلاقة الخطية مع X. فقيمة \(r\) تساوي 0.7746 تعطي \(r^2 \approx 0.6\)، أي أن نحو 60% من التباين مُفسَّر.
هل يُثبت الارتباط وجود علاقة سببية؟ لا. فقيمة \(r\) المرتفعة تُظهر أن المتغيّرين يتحرّكان معًا، لكنها لا تُثبت أن أحدهما سبب في الآخر.
ماذا لو كانت r تساوي صفرًا تمامًا؟ فهذا يعني عدم وجود ارتباط خطي، مع أنه قد توجد علاقة غير خطية لا يستطيع معامل بيرسون اكتشافها.
