ما هو معامل التحديد (R²)؟
معامل التحديد، ويُرمز له بـ \(R^{2}\)، يقيس مدى توافق تنبؤات النموذج مع البيانات الفعلية المُلاحَظة. إنه ببساطة نسبة التباين في المتغير التابع الذي يستطيع النموذج تفسيره. تتراوح قيمة \(R^{2}\) بين 1 (مطابقة مثالية، حيث تساوي التنبؤات القيم الفعلية تمامًا) ونزولًا إلى 0 (النموذج لا يتفوق على مجرد التنبؤ بالمتوسط)، بل يمكن أن تصبح سالبة عندما يكون أداء النموذج أسوأ من اعتماد المتوسط كخط أساس.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قائمة القيم الفعلية المُلاحَظة (y) وقائمة القيم المتوقعة المقابلة لها (ŷ)، كلٌّ منها على هيئة أرقام مفصولة بفواصل وبالترتيب نفسه. تقوم الحاسبة بمطابقة كل قيمة بنظيرتها، ثم تحسب متوسط القيم الفعلية، وبعدها تستخرج مجموع مربعات البواقي (\(SS_{res}\)) ومجموع المربعات الكلي (\(SS_{tot}\)) لتُرجع لك قيمة \(R^{2}\) ونسبة التباين المُفسَّر.
شرح المعادلة
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$ هنا تمثّل \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^{2}\) مقدار الخطأ المتبقي بعد تنبؤات النموذج، بينما تمثّل \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^{2}\) إجمالي تشتّت البيانات حول متوسطها. وبقسمة الأولى على الثانية نعرف نسبة التباين التي عجز النموذج عن تفسيرها؛ وبطرح الناتج من 1 نحصل على النسبة التي نجح في تفسيرها.
مثال محلول
القيم الفعلية = [3، −0.5، 2، 7]، والقيم المتوقعة = [2.5، 0.0، 2، 8]. متوسط القيم الفعلية = \(2.875\). $$SS_{res} = 0.5^{2} + 0.5^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 0.25 + 0.25 + 0 + 1 = 1.5$$ $$SS_{tot} = 0.125^{2} + 3.375^{2} + 0.875^{2} + 4.125^{2} \approx 0.0156 + 11.3906 + 0.7656 + 17.0156 = 29.1875$$ وبذلك $$R^{2} = 1 - \frac{1.5}{29.1875} \approx 0.9486$$ أي أن النموذج يفسّر نحو 94.9% من التباين.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون قيمة \(R^{2}\) سالبة؟ نعم. إذا كانت تنبؤاتك أسوأ من مجرد تخمين المتوسط في كل مرة، فإن \(SS_{res}\) تتجاوز \(SS_{tot}\) وتصبح قيمة \(R^{2}\) سالبة.
هل ارتفاع \(R^{2}\) يعني أن النموذج جيد؟ ليس دائمًا — فقد ترتفع قيمة \(R^{2}\) بسبب فرط التخصيص (Overfitting) أو إضافة متغيرات تنبؤية غير ذات صلة. لذا قيّمها دائمًا جنبًا إلى جنب مع رسوم البواقي والأداء على بيانات خارج العينة.
ما الفرق بين \(R^{2}\) والارتباط؟ في الانحدار الخطي البسيط، تساوي قيمة \(R^{2}\) مربع معامل ارتباط بيرسون (\(r\)) بين القيم الفعلية والمتوقعة.
