ما هو معامل ارتباط بيرسون؟
معامل ارتباط بيرسون، ويُرمز له بالحرف r، يقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين رقميين. تتراوح قيمته دائمًا بين −1 و+1: فالقيمة +1 تعني علاقة خطية طردية تامة، والقيمة −1 تعني علاقة عكسية تامة، أما الصفر فيعني انعدام أي ارتباط خطي. ويُعد هذا المعامل من أكثر المقاييس الإحصائية استخدامًا في البحث العلمي والتمويل وعلم البيانات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيم X وقيم Y على شكل قوائم مفصولة بفواصل أو مسافات. يجب أن تقترن كل قيمة X بقيمة Y في الموضع نفسه، لذا يلزم أن تحتوي القائمتان على العدد نفسه من القيم. تُظهر لك الحاسبة قيمة \(r\)، ومعامل التحديد \(r^2\)، وعدد الأزواج المرصودة، إضافة إلى متوسط كل متغير.
شرح المعادلة
تطرح المعادلة كل قيمة من متوسطها للحصول على الانحرافات، ثم تضرب انحرافات X وY المتقابلة وتجمع حواصل الضرب (البسط)، ثم تقسم الناتج على الجذر التربيعي لحاصل ضرب مجموعَي مربعات الانحرافات (المقام):
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$يعبّر البسط عن مدى تحرك المتغيرين معًا (التغاير)، بينما يقوم المقام بتسوية النتيجة لتبقى ضمن النطاق المحصور بين −1 و+1.
مثال محلول
لنفترض أن \(X = 1, 2, 3, 4, 5\) وأن \(Y = 2, 4, 5, 4, 5\). يكون المتوسطان \(\bar{x} = 3\) و\(\bar{y} = 4\). ومجموع حواصل ضرب الانحرافات يساوي 6، و\(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\)، و\(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\). وبذلك يكون $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ يشير هذا إلى علاقة خطية طردية قوية، مع \(r^2 \approx 0.60\)، أي أن نحو 60% من التباين مشترك بين المتغيرين.
الأسئلة الشائعة
ماذا يخبرني معامل التحديد \(r^2\)؟ هو نسبة التباين في أحد المتغيرين التي يمكن التنبؤ بها من المتغير الآخر — وهو مفيد لتقييم مدى جودة ملاءمة النموذج الخطي للبيانات.
هل القيمة العالية لـ \(r\) تعني وجود علاقة سببية؟ لا. الارتباط يقيس الترابط لا السببية. فقد تنشأ قيمة \(r\) قوية بمحض الصدفة أو بسبب متغير ثالث خفي.
لماذا يجب أن يتساوى عدد قيم X وY؟ يعمل معامل بيرسون على المشاهدات المزدوجة. فإذا اختلف طول القائمتين، تُستخدم الأزواج الأولى فقط بعدد \(n\)، حيث \(n\) هو عدد القيم في القائمة الأقصر.
