什麼是皮爾森相關係數？
皮爾森相關係數以 r 表示，用來衡量兩個數值變數之間線性關係的強度與方向。它的數值永遠落在 −1 與 +1 之間：+1 代表完全正向的線性關係，−1 代表完全反向的關係，而 0 則表示兩者之間沒有任何線性相關。在學術研究、財務分析與資料科學領域，皮爾森 \(r\) 都是最常被使用的統計指標之一。
如何使用這個計算器
請將你的 X 數值與 Y 數值以逗號或空格分隔後輸入。每一個 X 都會與相同位置的 Y 配成一組，因此兩組資料的個數必須相同。計算器會回傳 \(r\) 值、決定係數 \(r^2\)、配對觀測值的筆數，以及兩個變數各自的平均數。
公式解析
計算時先將每個數值減去自身的平均數，得到各自的離差；接著把成對的 X、Y 離差相乘並加總（即分子），再除以兩者離差平方和乘積的平方根（即分母）：
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$分子反映兩個變數一起變動的程度（即共變異數），分母則負責標準化，使結果始終維持在 −1 到 +1 的範圍內。
實例演算
假設 X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5，則平均數為 \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\)。離差乘積總和為 6，\(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10\)，\(\sum (y_i - \bar{y})^2 = 6\)。因此 $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$這代表兩者具有相當強的正向線性關係，而 \(r^2 \approx 0.60\)，意味著約有 60% 的變異可由彼此共同解釋。
常見問題
\(r^2\) 告訴我什麼？\(r^2\)（\(r\) 的平方）代表一個變數的變異中，能由另一個變數預測的比例，常用來判斷線性模型的配適程度。
\(r\) 值很高就代表有因果關係嗎？不是。相關只反映關聯，並不等於因果。再高的 \(r\) 也可能源自巧合，或是背後潛藏的第三個變數。
為什麼 X 與 Y 的個數必須相同？皮爾森 \(r\) 是針對成對的觀測值計算的。若兩組資料長度不一致，僅會取用前 \(n\) 組配對，其中 \(n\) 為較短那一組的筆數。
